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| Überblick | |
| - Heute beschäftigen wir uns (zunächst) mit der Bewertung von | |
| Anlagealternativen unter Risiko. | |
| - Im weiteren Verlauf der heutigen Vorlesung werden wir dann die | |
| Kombination von verschieden Anlagealternativen zu Portfolios | |
| diskutieren. | |
| Investitionsbewertung unter Unsicherheit | |
| Investitionsbewertung unter Unsicherheit | |
| Berücksichtigung von Unsicherheit | |
| - Im Rahmen der Investitionsbewertung unter Unsicherheit ist es | |
| regelmäßig erforderlich, Risiken innerhalb der Barwertberechnung zu | |
| berücksichtigen. | |
| - Dies gelingt über drei unterschiedliche Ansätze: | |
| - Wahl eines Diskontierungszinses, der das Risiko adäquat abbildet | |
| (z.B. LIBOR; EURIBOR; EONIA bei Finanzinvestitionen) | |
| - Risikozuschlag auf den risikolosen Kapitalmarkt- oder | |
| Wertpapierzinssatz | |
| - Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten anstatt unsicherer Cash | |
| Flows (bei unverändertem Kalkulationszins) | |
| - Wichtig: Alle Ansätze betrachten keine sicheren Cash Flows mehr, | |
| sondern den Erwartungswert unsicherer Cash Flows. | |
| Exkurs: Statistische Operatoren | |
| - Der Erwartungswert und die höheren Momente einer | |
| Wahrscheinlichkeitsverteilung erlauben uns, die Verteilung auf einfach | |
| quantifizierbare und vergleichbare Kennzahlen herunterzubrechen. | |
| - Betrachten wir als Motivation einmal eine Investition in Aktien. | |
| - Aufgrund der unsicheren Zukunftsentwicklungen ist das zukünftige | |
| Endvermögen eine Zufallsvariable. | |
| - Das Endvermögen hängt ab von | |
| - der gewählten Alternative (→ beeinflussbar) und | |
| - dem eingetretenem Zustand der Natur / Umweltzustand (→ nicht | |
| beeinflussbar). | |
| - Wir treffen die folgenden Annahmen: | |
| - 2 Zeitpunkte: t = 0 und t = 1 | |
| - Zustandsbezogene Betrachtungsweise: | |
| - Zustände müssen unabhängig von der gewählten Alternative definiert | |
| sein. | |
| - Zustände sind bekannt mit endlicher Anzahl. | |
| - diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. | |
| - den Zuständen können subjektive Wahrscheinlichkeiten zugeordnet | |
| werden. | |
| - Grundsätzlich unterscheiden wir zwischen Entscheidungen unter Risiko | |
| und Entscheidungen unter Unsicherheit. | |
| - Entscheidungen unter Risiko: Subjektive Wahrscheinlichkeit | |
| vorhanden. | |
| - Entscheidungen unter Unsicherheit: Unbekannte Wahrscheinlichkeit. | |
| - Daraus ergibt sich eine Ergebnismatrix in t = 1: | |
| ---------------------- -------- -------- --- -------- | |
| Eintrittsw’keiten ∑1 w₁ w₂ ⋯ w_(n) | |
| Zustände S₁ S₂ ⋯ S_(n) | |
| 1-1 Alternativen | |
| a₁ E₁₁ E₁₂ ⋯ E_(1n) | |
| a₂ E₂₁ E₂₂ ⋯ E_(2n) | |
| ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | |
| a_(m) E_(m1) E_(m2) ⋯ E_(mn) | |
| ---------------------- -------- -------- --- -------- | |
| - In einer alternativen Darstellung können wir die verschiedenen | |
| Ergebnisse auch über ein Baumdiagramm darstellen. | |
| (200,100) (100,80)(-1,-1)60 (100,80)(-1,-2)30 (100,80)(1,-2)30 | |
| (100,80)(1,-1)60 (30,0)E₁₁ (60,0)E₁₂ (160,0)E_(1n) (135,20)… (100,0) | |
| …… (95,90)a₁ | |
| width=0.85,center | |
| (320,120) (70,80)(-1,-1)60 (70,80)(0,-1)65 (70,80)(1,-1)60 (0,0)80 | |
| (60,0)120 (130,0)160 (25,50)$\frac{1}{3}$ (60,50)$\frac{1}{3}$ | |
| (105,50)$\frac{1}{3}$ (60,90)-100 (55,110)Aktie (220,110)Anleihe | |
| (250,80)(-1,-1)60 (250,80)(0,-1)65 (250,80)(1,-1)60 (180,0)120 | |
| (240,0)120 (310,0)120 (205,50)$\frac{1}{3}$ (240,50)$\frac{1}{3}$ | |
| (285,50)$\frac{1}{3}$ (240,90)-100 | |
| - Unser Ziel ist nun eine Auswahl zwischen | |
| Wahrscheinlichkeitsverteilungen. | |
| - Diese Auswahl basieren wir auf oben angesprochenen Kennzahlen der | |
| Verteilung, den sog. Momenten. | |
| - Mögliche Kennzahlen in diesem Kontext sind: | |
| - Erwartungswert | |
| - Varianz/Standardabweichung | |
| - Kovarianz/Korrelationskoeffizient | |
| - Schauen wir auf ein Beispiel. | |
| - Die folgende Tabelle zeigt uns in t = 1 Aktienwerte in Euro. | |
| Zustand S₁ S₂ S₃ S₄ | |
| ----------------- ----- ----- ----- ----- -- -- | |
| Eintrittsw’keit 0,1 0,3 0,4 0,2 | |
| Aktie I 150 170 180 200 | |
| Aktie II 280 300 270 290 | |
| Aktie III 100 100 100 100 | |
| - Die Preise / Kurse der Aktien in t = 0 betragen: | |
| - Aktie I: 125 € | |
| - Aktie II: 250 € | |
| - Aktie III: 90 € | |
| - Dann ergibt sich der Erwartungswert: | |
| $$\begin{aligned} | |
| \mbox{E}[\tilde{E}_i] & = & \sum_{j=1}^n w_j E_{ij} \\[1ex] | |
| \mbox{E}[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot 150 + 0,3\cdot 170 + 0,4\cdot 180 + 0,2\cdot 200 = \underline{178 \text{ \euro}} \\[1ex] | |
| \mbox{E}[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{284 \text{ \euro}} \\[1ex] | |
| \mbox{E}[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{100 \text{ \euro}} | |
| \end{aligned}$$ | |
| - Die Varianz: | |
| $$\begin{aligned} | |
| \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{E}_i] & = & \sum_{j=1}^n w_j \left( E_{ij}-\mbox{E}[\tilde{E}_i]\right)^2 \\[1ex] | |
| \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot (150-178)^2 + 0,3\cdot (170-178)^2 \\ | |
| & + & 0,4\cdot (180-178)^2 + 0,2\cdot (200-178)^2 = \underline{196 \text{ \euro}^2} \\[1ex] | |
| \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{164 \text{ \euro}^2} \\[1ex] | |
| \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2} | |
| \end{aligned}$$ | |
| - Oder, alternativ: | |
| $$\begin{aligned} | |
| \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{E}_i] & = & \underbrace{\sum_{j=1}^n w_j E_{ij}^2}_{\mbox{E}[\tilde{E}_i^2]}-\mbox{E}[\tilde{E}_i]^2 \\[1ex] | |
| \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot 150^2 + 0,3\cdot 170^2 \\ | |
| &+& 0,4\cdot 180^2 + 0,2\cdot 200^2 -178^2 = \underline{196 \text{ \euro}^2} \\ | |
| . . . & & | |
| \end{aligned}$$ | |
| - Die Standardabweichung: | |
| $$\begin{aligned} | |
| \sigma[\tilde{E}_i] & = & \sqrt{\mathop{\mathrm{var}}[\tilde{E}_i]} \\[1ex] | |
| \sigma[\tilde{P}_1^{I}] & = & \sqrt{196} = \underline{14 \text{ \euro}} \\[1ex] | |
| \sigma[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{12,8062 \text{ \euro}} \\[1ex] | |
| \sigma[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}} | |
| \end{aligned}$$ | |
| - Die Kovarianz: | |
| $$\begin{aligned} | |
| \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k] & = & \sum_{j=1}^n w_j (E_{ij}-\mbox{E}[\tilde{E}_i]) (E_{kj}-\mbox{E}[\tilde{E}_k]) \\[1ex] | |
| \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{II}] & = & 0,1 (150-178)\cdot (280-284)\\ | |
| & + & 0,3 (170-178)\cdot (300-284) \\ | |
| & + & 0,4 (180-178)\cdot (270-284) \\ | |
| & + & 0,2 (200-178)\cdot (290-284) = \underline{-12 \text{ \euro}^2} \\[1ex] | |
| \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2} \\[1ex] | |
| \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{P}_1^{II},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2} | |
| \end{aligned}$$ | |
| - Und der Korrelationskoeffizient: | |
| $$\begin{aligned} | |
| \rho[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k] & = & \frac{\mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k]}{\sigma[\tilde{E}_i]\cdot \sigma[\tilde{E}_k]} \quad \left(\rho \in [-1;1]\right) \\[1ex] | |
| \rho[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{II}] & = & \frac{-12 \text{\euro}^2}{14\text{\euro}\cdot 12,8062\text{\euro}} = \underline{-0,0669} \\[1ex] | |
| \rho[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0} \\[1ex] | |
| \rho[\tilde{P}_1^{II},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0} | |
| \end{aligned}$$ | |
| Das Bernoulli-Prinzip | |
| Wie entscheiden unter Risiko? | |
| Wie soll ein bestimmtes (Anfangs-)Vermögen W₀ auf | |
| Wertpapiere/Investitionsalternativen aufgeteilt werden? | |
| ------------- -------------------------------------------------------- | |
| Sicherheit: Investition in das WP, welches das höchste EV erzielt. | |
| Risiko: Zunächst keine Entscheidung möglich. | |
| ------------- -------------------------------------------------------- | |
| [image] | |
| - Mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erzielen WP A und WP B eine | |
| bestimmte Rendite. Aber welches WP ist zu wählen? | |
| - Auch möglich: Portfoliobildung (dazu gleich mehr). | |
| [image] | |
| - D. h. für unterschiedliche (x_(A), x_(B))-Kombinationen bekommt man | |
| unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Portfoliorendite | |
| (stochastisch). | |
| Klassische Entscheidungsgrundsätze | |
| Die Grundidee: Berechnen Sie die Momente der | |
| Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um die Präferenzwerte zu bestimmen. | |
| 1. Moment: | |
| - Rendite $\widehat{=}$ Erwartungswert μ | |
| - Wählen Sie die Alternativen mit dem höchsten erwarteten Wert. | |
| - Entscheidungsregel (formal): E[Ṽ_(i)] > E[Ṽ_(k)] ⇒ V_(i) ≻ V_(k) | |
| Klassische Entscheidungsgrundsätze | |
| Beispiel | |
| Aktie: $\mbox{E}[\tilde V^A]=\frac{1}{3} (80+120+160)=$ 120. | |
| Staatsanleihe: E[Ṽ^(BA)]= 120. | |
| Eine ausschließlich auf Erwartungswerten basierende Entscheidungsfindung | |
| ist für risikoscheue oder risikofreudige Anleger nicht geeignet, da die | |
| Unsicherheit von Aktien nicht berücksichtigt wird. | |
| ⇒ mindestens eine Kennzahl zur Risikomessung ist erforderlich. | |
| Klassische Entscheidungsgrundsätze | |
| 2. Moment | |
| - Risikomaß $\stackrel{\wedge}{=}$ Standardabweichung σ oder Varianz σ² | |
| - Definiert Φ(E[Ṽ_(i)], var [Ṽ_(i)]) den | |
| - Erwartungswert und variationsabhängiger Präferenzwert, | |
| - führt dies zu der folgenden (formalen) Entscheidungsregel: | |
| - Φ(E[Ṽ_(i)], var [Ṽ_(i)]) > Φ(E[Ṽ_(k)], var [Ṽ_(k)]) ⇒ V_(i) ≻ V_(k) | |
| - Beachten Sie, dass neben der Standardabweichung oder Varianz mehrere | |
| andere Risikofaktoren möglich sind: Schiefe, Kurtosis, Value at Risk, | |
| erwarteter Ausfall, ... | |
| Klassische Entscheidungsgrundsätze | |
| Beispiel | |
| Aktie: ̄ | |
| $\mathop{\mathrm{var}}[\tilde V^A]=\frac{1}{3} (80-120)^2+\frac{1}{3} (120-120)^2+\frac{1}{3} (160-120)^2$ | |
| $=\text{1.066,62\EUR{}}^2.$ | |
| σ[Ṽ^(A)]= 32.66 | |
| Staatsanleihe: var [Ṽ^(BA)] = 0 = σ[Ṽ^(BA)]. | |
| Das (μ, σ)-Prinzip | |
| Das (μ, σ)-Prinzip setzt eine Entscheidungsfindung auf der Grundlage von | |
| μ und σ voraus. | |
| Beispiel: Präferenzfunktion des Investors: | |
| $\Phi=\mu-\frac{1}{5}\sigma^2$ | |
| Aktie: $\Phi=120-\frac{1}{5}\cdot 1.066,67=-93,33$ | |
| Staatsanleihe: $\Phi=120-\frac{1}{5}\cdot 0=120$ | |
| ⇒ Wähle die Staatsanleihe! | |
| → Unter der Annahme, dass zwei Projekte den gleichen Erwartungswert | |
| haben, entscheiden sich risikoscheue Investoren immer für das weniger | |
| riskante Projekt. | |
| Das Bernoulli-Prinzip | |
| - Unter Anwendung des Bernoulli-Prinzips versuchen wir, den erwarteten | |
| Nutzen zu maximieren. | |
| $$\mbox{E}[U(\tilde{r_{PF}})]\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$$ | |
| - ⇒ Die Entscheidungsfindung unter Risiko wird gelöst durch: | |
| - Zustandsabhängige Ergebnisse V_(ij) jeder Alternative kombiniert mit | |
| einer Nutzenfunktion U(Ṽ) ergeben einen zustandsabhängigen | |
| Nutzenwert U(V_(ij)). | |
| - Bestimmen Sie die Erwartungswerte des Nutzens für jede Alternative | |
| i: | |
| $$\mbox{E}[U(\tilde V_i)] = \sum_{j=1}^n p_j \cdot U(V_{ij}).$$ | |
| - Die Entscheidungsfindung berücksichtigt alle relevanten | |
| Erwartungswerte des Nutzens. Zwei Alternativen, i und k: | |
| E[U(Ṽ_(i))] > E[U(Ṽ_(k))] ⇒ V_(i) ≻ V_(k). | |
| Erwartungsnutzen-Maximierung | |
| - Annahme: Axiome des rationalen Verhaltens: Das Bernoulli-Prinzip geht | |
| von rationalem Verhalten aus. | |
| Anmerkung: Unter dieser Annahme gibt es eine Nutzenfunktion U(Ṽ) für | |
| zwei zufällige Wahrscheinlichkeitsverteilungen w₁ und w₂: | |
| $$\begin{aligned} | |
| w_1 > w_2 & \Leftrightarrow \mbox{E}_{w_1}[U(\tilde V)]>\mbox{E}_{w_2}[U(\tilde V)]\\ | |
| w_1 \sim w_2 & \Leftrightarrow \mbox{E}_{w_1}[U(\tilde V)]=\mbox{E}_{w_2}[U(\tilde V)] | |
| \end{aligned}$$ | |
| Die Nutzenfunktion U(Ṽ) ist eindeutig (außer bei positiver linearer | |
| Transformation). | |
| - Das Bernoulli-Prinzip berücksichtigt die Präferenzen der Anleger in | |
| Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung. | |
| - Zielsetzung: Rangfolge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen | |
| (Projekte) auf der Grundlage ihres Erwartungswerts des Nutzens. | |
| Anwendung des Bernoulli-Prinzips | |
| Wir betrachten die Nutzenfunktion U(V) = 1000 ⋅ V − V² und berechnen den | |
| erwarteten Nutzen der Investition in Aktien und Staatsanleihen. Wir | |
| beginnen mit der Aktie: | |
| Zustand 1 2 3 | |
| --------- --------------- --------------- --------------- | |
| p $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ | |
| V 80 120 160 | |
| U(V) 73.600 105.600 134.400 | |
| $\mbox{E}[U(\tilde V)]=\frac{1}{3}\cdot 73.600+\frac{1}{3}\cdot 105.600+\frac{1}{3}\cdot 134.400=104.533,\bar{3}$ | |
| Beispiel fortgesetzt | |
| Nun wenden wir uns den Staatsanleihen zu: | |
| Zustand 1 2 3 | |
| --------- --------------- --------------- --------------- | |
| p $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ | |
| V 120 120 120 | |
| U(V) 105.600 105.600 105.600 | |
| $\mbox{E}[U(\tilde V)]=\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 105.600 = 105.600$ | |
| Da die Staatsanleihen einen höheren erwarteten Nutzen bietet als die | |
| Aktie, wird sich ein Anleger mit der entsprechenden Nutzenfunktion für | |
| die Staatsanleihen entscheiden. | |
| Wer wird Millionär? | |
| Beispiel 1 (Wer wird Millionär?). Stellen Sie sich die folgende | |
| Situation vor: Sie sind in der Show mit Günther Jauch und stehen vor der | |
| Millionen-Euro-Frage. Sie haben bereits den 50 : 50-Joker eingesetzt, so | |
| dass zwei Antworten möglich sind. Ihre subjektiven Wahrscheinlichkeiten | |
| für die möglichen Antworten sind .6 für Antwort A und .4 für Antwort B. | |
| Erinnern Sie sich, dass Sie mit der richtigen Antwort 1 Mio. € gewinnen, | |
| während Sie mit der falschen Antwort nur 16.000€ gewinnen. Wenn Sie die | |
| Frage nicht beantworten, gewinnen Sie 500.000€. Beantworten Sie die | |
| Frage? | |
| Wer wird Millionär? | |
| Beispiel 2 (Erwartungsnutzentheorie). | |
| - Sie maximieren einen einfachen exponentiellen Nutzen gemäß der | |
| Funktion $u(c) = -\frac{e^{-ac}}{a}$, wobei a Ihre konstante absolute | |
| Risikoaversion bezeichnet, a = .15. | |
| - Berechnen Sie den Nutzen einer Nichtbeantwortung der Frage: | |
| $u(500) = -\frac{e^{-.15 \cdot 500}}{.15} = - 1.786$. | |
| - Berechnen wir nun den Nutzen einer Antwort: | |
| $u = .4 \cdot (-\frac{e^{-.15 \cdot 16}}{.15}) + .6 \cdot (-\frac{e^{-.15 \cdot 1000}}{.15}) = -.242$. | |
| - Bei dieser Nutzenfunktion und dem Grad der Risikoaversion sollten Sie | |
| also antworten! | |
| Risikobereitschaft | |
| Die Nutzenfunktion zeigt die Einstellung des Anlegers zum Risiko. Wir | |
| unterscheiden zwischen drei Risikohaltungen: | |
| - risikoavers, | |
| - risikoneutral, | |
| - risikofreudig. | |
| Risikobereitschaft | |
| Betrachten Sie eine risikofreie Anlage (z.B. Staatsanleihe) w₁ und eine | |
| risikoreiche Anlage (z.B. Aktie) w₂ mit demselben Erwartungswert | |
| $$\mbox{E}[\tilde V^{BA}]=120=\frac{1}{3}(80+120+160)=\mbox{E}[\tilde V^A].$$ | |
| Dann wird die Risikoeinstellung eines Anlegers wie folgt definiert: | |
| Definition: Der Investor ist | |
| - risikoavers, wenn w₁ ≻ w₂, | |
| - risikoneutral, wenn w₁ ∼ w₂, | |
| - risikofreudig, wenn w₁ ≺ w₂. | |
| Risikobereitschaft | |
| Risikoverhalten | |
| Gegeben U(Y) und U^(′)(Y) > 0 (muss positiv sein! warum?). | |
| Jede(r) Investor*In ist | |
| - risikoavers, wenn U(Y) konkav ist [U^(″)(Y) < 0], | |
| - risikoneutral, wenn U(Y) linear ist [U^(″)(Y) = 0], | |
| - risikofreudig, wenn U(Y) konvex ist [U^(″)(Y) > 0]. | |
| Risikobereitschaft | |
| [image] | |
| Vergleichbarkeit von Bernoulli- und mu-sigma | |
| Bernoulli- und (μ, σ)-Prinzip | |
| Frage: In welchen Fällen führen das Bernoulli-Prinzip und das | |
| (μ, σ)-Prinzip zur gleichen Entscheidung? | |
| Für alle Zufallsverteilungen vollständig erklärt durch μ und σ: | |
| - Normal verteilte Ergebnisse | |
| - Exponentielle Nutzenfunktion U(V) = −e^(−aV)(a > 0) | |
| - Die zugehörige Präferenzfunktion ist | |
| $\Phi=\mu-\frac{a}{2}\cdot \sigma^2$ | |
| Beispiel: quadratische Nutzenfunktion | |
| U(V) = aV + bV²(a > 0, b < 0) | |
| → parabolische Nutzenfunktion; mit b < 0: | |
| Nutzenfunktion impliziert Risikoaversion. | |
| → Funktion ist realisierbar, solange der erwartete Wert steigt. | |
| Andernfalls: Ein steigender Gewinn oder Wohlstand würde zu einem | |
| sinkenden Nutzen führen. | |
| Daraus folgt: | |
| $\frac{\delta U(V)}{\delta V} = a + 2bV > 0 \Leftrightarrow V < -\frac{a}{2b}$ | |
| Achtung: b < 0 | |
| Bernoulli-Prinzip: | |
| $$\begin{aligned} | |
| \mbox{E}[U(\tilde V)] & = & \mbox{E}[a\tilde V+b\tilde V^2]\\ | |
| & = & a\cdot \mbox{E}[\tilde V]+b\cdot \mbox{E}[\tilde V^2]\\ | |
| & \stackrel{(*)}{=} & a\cdot \mbox{E}[\tilde V]+b\cdot (\mathop{\mathrm{var}}[\tilde V]+ \mbox{E}[\tilde V]^2)\\ | |
| & = & a\cdot\mu + b\cdot (\sigma^2+ \mu^2)\\ | |
| \end{aligned}$$ | |
| (*) var [Ṽ] = E[Ṽ²] − E[Ṽ]² | |
| Daraus folgt: | |
| $\underbrace{\mbox{E}[U(\tilde V)]}_{\text{Bernoulli-Prinzip:}} = \underbrace{a\mu + b\cdot (\sigma^2+ \mu^2)}_{(\mu,\sigma)-Prinzip}$ | |
| Risikozuschlag und Sicherheitsäquivalent | |
| Risikozuschlag auf den Zinssatz | |
| - Häufig angewendet (weil einfach) ist die Methode, den adäquaten | |
| risikolosen Diskontierungszins um einen subjektiven Risikozuschlag zu | |
| erhöhen. | |
| - Dieser Risikozuschlag wird umso größer sein, je höher das Risiko des | |
| Investitionsprojekts eingeschätzt wird. | |
| - Für eine Investition lässt sich der Risikozuschlag z auf den | |
| Kalkulationszinssatz allgemein wie folgt berücksichtigen: | |
| $$PV_0 = \sum_{t=1}^T \frac{\mbox{E}[CF_t]}{(1+i+z)^t}$$ | |
| Beispiel: Berücksichtigung eines Risikozuschlags auf den | |
| Kalkulationszinssatz | |
| - Für eine Investition mit einer Laufzeit von zwei Jahren seien folgende | |
| unsichere Cash Flows angenommen. Der Diskontierungszinssatz betrage | |
| 10% und der Risikozuschlag betrage 2% (Aufschlag um 2 Prozentpunkte). | |
| - Zunächst ist die Berechnung der erwarteten Cash Flows E[CF_(t)] aus | |
| der Investition unter Unsicherheit erforderlich: | |
| Umweltzustand S₁ S₂ S₃ | |
| -------------------- -------- -------- --------- --------------- | |
| Wahrscheinlichkeit 0,2 0,5 0,3 | |
| t₁ +5 000 +7 000 +9 000 E[CF₁] = 7200 | |
| t₂ +6 000 +7 500 +10 000 E[CF₂] = 7950 | |
| - Der Barwert dieser Investition beträgt: | |
| $$\begin{aligned} | |
| PV_0 &= \sum_{t=1}^T \frac{\mbox{E}[CF_t]}{(1+i+z)^t} =\frac{7.200\text{\euro}}{1,12} + \frac{7.950\text{\euro}}{1,12^2}\\ | |
| &= \textcolor{uniblau}{12 766,26} | |
| \end{aligned}$$ | |
| - Merke: Ein positiver Risikozuschlag auf den Kalkulationszinssatz führt | |
| c.p. immer zu einem sinkendem Barwert! | |
| - Begründung? | |
| - Mathematisch: erwartete CF werden mit einem dann höheren (weil | |
| risikoadjustierten) Zinssatz diskontiert, was zu einem sinkenden | |
| Barwert führt. | |
| - ökonomisch: der Risikozuschlag erhöht die Mindestrendite, die die | |
| Investition mindestens erwirtschaften muss ⇒ Investition wird | |
| unattraktiver ⇒ Barwert sinkt. | |
| Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten | |
| - Alternativ können Risiken auch dadurch abgebildet werden, dass | |
| anstelle unsicherer Cash Flows sog. Sicherheitsäquivalente (certainty | |
| equivalents, CEs) diskontiert werden → Sicherheitsäquivalentmethode | |
| - Das Sicherheitsäquivalent einer zukünftigen, unsicheren Zahlung ist | |
| derjenige sichere Betrag, der dem Investor in Abhängigkeit seiner | |
| Risikoeinstellung den gleichen Nutzen liefert wie die unsichere | |
| Zahlung selbst. | |
| - Je nach Risikoeinstellung des Investors kann aus der Differenz von | |
| Sicherheitsäquivalent und Erwartungswert der zukünftigen Zahlung eine | |
| Risikoprämie RP von größer null, kleiner null oder gleich null | |
| resultieren. | |
| - Risikoneutralität: Sicherheitsäquivalent = Erwartungswert der | |
| unsicheren Zahlung: ⇒ RP = 0 | |
| - Risikoaversion: Sicherheitsäquivalent < Erwartungswert der | |
| unsicheren Zahlung: ⇒ RP > 0 | |
| - Risikoaffinität: Sicherheitsäquivalent > Erwartungswert der | |
| unsicheren Zahlung: ⇒ RP < 0 | |
| - Es bestehen also folgende Zusammenhänge zwischen dem Erwartungswert | |
| der unsicheren Cash Flows E(CF_(t)), Sicherheitsäquivalent CE_(t) und | |
| der Risikoprämie RP_(t): | |
| $$\begin{aligned} | |
| \mbox{E}(CF_t) &=& CE_t + RP_t\\ | |
| CE_t &=& \mbox{E}(CF_t) - RP_t\\ | |
| RP_t &=& \mbox{E}(CF_t) - CE_t | |
| \end{aligned}$$ | |
| Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten | |
| - Ist die Risikonutzenfunktion des Investors bekannt, kann das | |
| Sicherheitsäquivalent CE_(t) direkt aus dieser Risikonutzenfunktion | |
| bestimmt werden. | |
| - Da der Nutzen des Sicherheitsäquivalents U(CE_(t)) genau so groß sein | |
| muss, wie der erwartete Nutzen der unsicheren erwarteten Cash Flows | |
| E[U(CF_(t))], gilt folgender Zusammenhang: | |
| $$\begin{aligned} | |
| U(CE_t) &\overset{!}{=} \mbox{E}[U(CF_t)]\\ | |
| \Leftrightarrow CE_t &= U^{-1} (\mbox{E}[U(CF_t)]) | |
| \end{aligned}$$ | |
| - Das heißt, das Sicherheitsäquivalent lässt sich allgemein aus der | |
| Inversen der Risikonutzenfunktion des Investors ermitteln. | |
| [image] | |
| - Zur Erinnerung: Für das Sicherheitsäquivalent gilt: | |
| $$\textcolor{uniblau}{CE_t = \mbox{E}(CF_t) - RP_t}$$ | |
| - Die allgemeine Barwertformel verändert sich dann mit Berücksichtigung | |
| von Sicherheitsäquivalenten wie folgt: | |
| $$PV_0 = \sum_{t=1}^T \frac{\overbrace{\mbox{E}(CF_t) - RP_t}^{CE_t}}{(1+i)^t}$$ | |
| Beispiel: Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten | |
| - Für eine Investition unter Unsicherheit stehen folgende Informationen | |
| zur Verfügung: | |
| - Risikoloser Kapitalmarktzins: 10% | |
| - Erwartete Cash Flows: | |
| Umweltzustand S₁ S₂ S₃ S₄ | |
| -------------------- -------- -------- -------- --------- | |
| Wahrscheinlichkeit 0,1 0,3 0,4 0,2 | |
| Jahr 1 +4 000 +6 000 +8 000 +11 000 | |
| Jahr 2 +3 000 +6 000 +9 000 +12 000 | |
| Beispiel: Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten | |
| - Damit lassen sich für die gegebene Investition folgende | |
| Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen bestimmen: | |
| μ σ² σ | |
| -------- ------- ----------- ------- | |
| Jahr 1 7 600 4 440 000 2 107 | |
| Jahr 2 8 100 7 290 000 2 700 | |
| Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten | |
| - Das Sicherheitsäquivalent bestimmt sich als Umkehrfunktion (Inverse) | |
| der Risikonutzenfunktion und soll hier im Beispiel wie folgt lauten: | |
| $$\begin{aligned} | |
| CE_t &= \mbox{E}(CF_t) - RP_t\\ | |
| &= \mbox{E}(CF_t) - \alpha \cdot \sigma (CF_t) \\ | |
| &= \mbox{E}(CF_t) - 0,1 \cdot \sigma (CF_t) | |
| \end{aligned}$$ | |
| - α gibt dabei den Grad der Risikoaversion des jeweiligen Entscheiders | |
| an. | |
| - Nutzenfunktionen zu bestimmen ist in der Praxis eine große | |
| Herausforderung. | |
| - Die ermittelten Werte werden nun verwendet, um den Barwert der | |
| unsicheren Investition zu berechnen. | |
| - Dafür sind zunächst die Sicherheitsäquivalente beider Jahre zu | |
| berechnen: | |
| $$\begin{aligned} | |
| CE_t &= \mbox{E}(CF_t) - 0,1 \cdot \sigma (CF_t) \\ | |
| CE_1 &= 7 600 - 0,1 \cdot 2 107 = \textcolor{uniblau}{7 389,30}\\ | |
| CE_2 &= 8 100 - 0,1 \cdot 2 700 = \textcolor{uniblau}{7 830,00} | |
| \end{aligned}$$ | |
| - Gemäß der Formel zur Berechnung des Barwertes gilt dann: | |
| $$\begin{aligned} | |
| PV_0 &= \sum_{t=1}^T \frac{\textcolor{uniblau}{CE_t}}{(1+i)^t} = \frac{7 389,30}{1,1} + \frac{7 830,00}{1,1^2} \\ | |
| &= \textcolor{uniblau}{13 188,62} | |
| \end{aligned}$$ | |
| Zusammenfassung und weitere Agenda | |
| - Jetzt sind wir in der Lage, einzelne Zahlungsströme unter Risiko zu | |
| bewerten. | |
| - In der Realität wird ein Unternehmen jedoch selten nur in ein | |
| einzelnes Projekt investieren wollen. | |
| - In gleichem Maße sollte ein Investor nicht nur in eine einzige | |
| Anlagemöglichkeit investieren (warum? → dazu gleich mehr). | |
| - Daher betrachten wir im weiteren Verlauf die Investition in mehrere | |
| Projekte. | |
| - Wir werden dies am Beispiel eines Investors diskutieren; die | |
| Überlegungen sind aber ohne Weiteres auf Unternehmen zu übertragen. | |
| Portfolios und Diversifikation | |
| Portfolios und Diversifikation | |
| Entscheidungssituation unter Risiko | |
| - Bisher: Betrachtung sich gegenseitig ausschließender | |
| Investitionsprojekte bzw. -programme. | |
| - Jetzt: Investitionsprojekte schließen sich nicht mehr gegenseitig aus. | |
| - Beurteilung einzelner Investitionsprojekte bei Risiko erfordert die | |
| Berücksichtigung der stochastischen Zusammenhänge mit der Gesamtheit | |
| aller übrigen Projekte, die durchgeführt werden. | |
| - Modell notwendig, in dem das Gesamtprogramm (=Portfolio) unter | |
| simultaner Berücksichtigung aller in Frage kommender Projekte | |
| optimiert wird. | |
| Although more than half a century has passed since Markowitz’s (1952) | |
| seminal paper, the mean-variance (MV) framework is still the major model | |
| used in practice today in asset allocation and active portfolio | |
| management despite many other models developed by academics. | |
| Anlageproblematik Der Aufbau, die Verwaltung und die Sicherung von | |
| Vermögen ist ein zentraler Prozess, mit dem jeder Anleger konfrontiert | |
| ist. | |
| Herausforderungen: | |
| - Viele Anlagealternativen mit verschiedenen Rendite-/Risikoprofilen | |
| - Ausgleich von Risiken | |
| - Abstimmung auf die individuellen Präferenzen des Anlegers | |
| Lösung: Portfoliomanagement | |
| - Die wesentliche Aufgabe des Portfoliomanagements besteht darin, das | |
| Kapital im Hinblick auf die Nutzenpräferenz des Anlegers optimal zu | |
| allokieren. | |
| Anlageuniversum | |
| [image] | |
| Magisches Dreieck | |
| [image] | |
| Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen | |
| Rendite | |
| Verhältnis zwischen einem Endwert und einem Anfangswert, ausgedrückt | |
| über einen bestimmten Zeitraum. | |
| - $r_t = \frac{ P_t }{ P_{t-1} } -1$ (diskret), | |
| - $r_t = ln (\frac{ P_t }{ P_{t-1} }$) (stetig), | |
| wobei P_(t) der Preis der Aktie zum Zeitpunkt t ist. | |
| Durschnittliche Rendite einer Einzelinvestition | |
| $$\bar r = \frac{ 1 }{ t } \cdot \sum \limits_{t=1}^{T} r_t$$ | |
| Die Vorteile der stetigen Rendite | |
| Zeitadditivität | |
| Für diskrete Renditen ist die Rendite über einen langen Zeitraum nicht | |
| die Summe der Renditen über die kurzen Zeiträume. | |
| (1 + r₁)(1 + r₂)⋯(1 + r_(n)) = ∏_(i)(1 + r_(i)) | |
| Diese fehlende Zeitadditivität von diskreten Renditen ist für viele | |
| Analysen ungeeignet; insb. ändert sich durch die Multiplikation die | |
| Verteilung der Renditen. Aus diesem Grund werden häufig stetige Renditen | |
| verwendet, da sie zeitadditiv sind. Bei stetigen Renditen ist die | |
| Rendite über einen langen Zeitraum die Summe der Renditen über die | |
| kurzen Zeiträume. | |
| ∑_(i)log (1 + r_(i)) = log (1 + r₁) + ⋯ + log (1 + r_(T)) = log (P_(T)) − log (P₀) | |
| Normalverteilung der log-Renditen | |
| Wenn wir annehmen, dass die Preise logarithmisch normalverteilt sind, | |
| dann ist log(1 + r_(i)) praktischerweise auch normalverteilt. | |
| Diskrete und kontinuierliche Renditen sind nahezu äquivalent | |
| Wenn die Renditen sehr klein sind (was bei Geschäften mit kurzer | |
| Haltedauer oft der Fall ist), liegen stetige Renditen im Wert nahe bei | |
| diskreten Renditen. | |
| log (1 + r) ≈ r, r ≪ 1 | |
| Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen | |
| Risiko einer Einzelinvestion (hier: Volatilität) | |
| Die Varianz σ² ist die quadratische Differenz zwischen den realisierten | |
| Einzelrenditen und ihrem berechneten Mittelwert. Durch Ziehen der | |
| Quadratwurzel erhält man die Standardabweichung σ: | |
| $$\sigma = \sqrt{ \frac{ 1 }{ t } \cdot \sum \limits_{t=1}^{T} (r_t - \bar r)^2 }$$ | |
| Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen Wurzel-T-Regel | |
| Um eine entsprechende Vergleichbarkeit von Rendite und Risiko zu | |
| erreichen, müssen beide Variablen annualisiert werden. Die annualisierte | |
| Standardabweichung wird mit Hilfe des Annualisierungsfaktors | |
| (Wurzel-T-Regel) bestimmt: | |
| $$\sigma_{T_1} = \sigma_{T_2} \cdot \sqrt{ \frac{ {T_1} }{ {T_2} } }$$ | |
| Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen Erwartete Rendite und Varianz | |
| Da eine Investitionsentscheidung unter Unsicherheit getroffen wird, ist | |
| die Renditeberechnung ex-ante nicht möglich. Die tatsächliche Rendite | |
| r_(T) und Volatilät σ kann nur ex post bestimmt werden. | |
| Annahme: Zukünftige Renditen haben ähnliche Eigenschaften wie | |
| historische Renditen: | |
| - Gleichbleibender Mittelwert | |
| - Gleichbleibende Varianz | |
| Aufbauend darauf nutzt man häufig die durchschnittliche vergangene | |
| Rendite als erwartete Rendite μ = E[r_(i)] = r̄ und die historische | |
| Varianz σ² = var [r_(i)] als Maß für die erwartete Volatilität. | |
| Rendite-Risiko-Diagramm Wie würden Sie sich entscheiden? | |
| [image] | |
| Portfolio Was ist ein Portfolio? | |
| - Das Portfolio beschreibt ein Bündel von Investitionen, die ein Anleger | |
| besitzt. | |
| - Für den Aufbau eines Portfolios werden in der Regel Zielsetzungen und | |
| -kriterien formuliert, die der Auswahl der einzelnen Vermögenswerte | |
| zugrunde gelegt werden. | |
| - Durch die Zusammenstellung des Portfolios wird versucht, die für den | |
| Investor optimale Mischung zwischen Rendite, Risiko und Liquidität zu | |
| erreichen. | |
| Portfolio | |
| [image] | |
| Rendite und Risiko eines Portfolios Gesamtrendite des Portfolios | |
| Die Summe der Erwartungswerte der Renditen, gewichtet mit den Anteilen | |
| x_(i) der i = 1, ... N Wertpapiere in einem Portfolio P ergibt die | |
| Portfoliorendite: | |
| - $\mbox{E}[r_P] = \sum \limits_{i=1}^{N} x_i \cdot \mbox{E}[r_i]$ | |
| Gesamtrisiko des Portfolios | |
| Das Gesamtrisiko des Portfolios ist abhängig von | |
| - den Risiken der einzelnen Wertpapiere σ_(i), | |
| - ihren Portfolioanteilen x_(i) und | |
| - den Kovarianzen zwischen den einzelnen Renditen. | |
| Kovarianz und Korrelation Kovarianz | |
| Die Kovarianz charakterisiert die (lineare) Beziehung zwischen den | |
| Renditen zweier Wertpapiere und ergibt sich aus dem Produkt der | |
| Differenzen zwischen zwei Wertpapieren i und j. | |
| - σ_(ij) = E[(r_(i) − E[r_(i)])(r_(j) − E[r_(j)])] | |
| Korrelation | |
| Um die Beziehung vergleichbar zu machen, wird der | |
| Korrelationskoeffizient durch Standardisierung der Kovarianz | |
| hergeleitet. Dieser ist definiert als Quotient aus Kovarianz σ_(ij) und | |
| dem Produkt der Standardabweichungen σ_(i)σ_(j). | |
| - $\rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i\sigma_j}$ | |
| Kovarianz und Korrelation Interpretation | |
| - Der Korrelationskoeffizient ist normiert und nimmt nur Werte zwischen | |
| −1 ≤ ρ_(ij) ≤ 1 an. | |
| - Er dient als Richtungs- und Stärkeindikator für die zu | |
| prognostizierenden Renditen der abhängigen Wertpapiere. | |
| - Bei einem Wert von +1 (bzw. -1) besteht eine vollständig positive | |
| (bzw. negative) lineare Beziehung zwischen den betrachteten | |
| Variablen. | |
| - Ist ρ_(ij) gleich null, so besteht kein linearer Zusammenhang | |
| zwischen den betrachteten Variablen. | |
| Risiko des Portfolios 2 Assets: | |
| $$\sigma_p = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 +2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}$$ | |
| 3 Assets: | |
| σ_(p) = | |
| $$\sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + w_3^2\sigma_3^2 +2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2+2w_1w_3\rho_{13}\sigma_1\sigma_3 +2w_2w_3\rho_{23}\sigma_2\sigma_3}$$ | |
| n Assets: | |
| $$\sigma_p = \sqrt{\sum \limits_{i=0}^{N}w_i^2\sigma_i^2+2\sum \limits_{i=0}^{N} \sum \limits_{j=i+1}^{N} w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j}$$ | |
| Diversifikationseffekt | |
| Gegeben sind N identische Wertpapiere mit | |
| - μ_(i) = μ | |
| - σ_(i) = σ | |
| - ρ_(ij) = 0 für alle i ≠ j | |
| Mögliche Alternativen: | |
| 1. Investion in ein einzelnes Wertpapier | |
| 2. Gleichmäßige Investion auf alle n Wertpapiere | |
| - Naive Diversifikation | |
| Renditen der Alternativen: | |
| 1. E[r_(P)] = 1 ⋅ μ₁ = μ | |
| 2. $\mbox{E}[r_P] = \frac{1}{N}\cdot\mu_1 + \frac{1}{N} \cdot \mu_2 + ... + \frac{1}{N} \cdot \mu_N = \frac{1}{N} | |
| \sum \limits_{i=1}^{N}\mu_i = \mu$. | |
| Diversifikationseffekt | |
| Die Renditen der Einzelinvestition und des Portfolios sind identisch. | |
| Standardabweichung der Alternativen: | |
| 1. $\sigma_P = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2}= 1 \cdot \sigma_1 = \sigma$ | |
| 2. $\sigma_P = \sqrt{(\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_1^2+ (\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_2^2+...+(\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_N^2} =\sqrt{\sum \limits_{i=0}^{N} (\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_i^2} = \frac{\sigma}{N}$ | |
| Bei einer Investition in N Wertpapiere verringert sich die | |
| Standardabweichung auf $\frac{\sigma}{N}$. | |
| ⇒ Durch die Investition in ein Portfolio kann die Volatilität reduziert | |
| werden. | |
| Diversifikationseffekt [image] | |
| Diversifikation: Systematisches und unsystematisches Risiko | |
| - Das Risiko eines einzelnen Wertpapiers kann in zwei Risiken unterteilt | |
| werden: | |
| - Unsystematisches (idiosynkratisches) Risiko (unternehmenspezifisch) | |
| - Systematisches Risiko (Marktrisiko) | |
| - Durch ein breit gestreutes (diversifiziertes) Portfolio, lässt sich | |
| das unsystematische Risiko auf ein Minimum reduzieren. Das Marktrisiko | |
| bleibt jedoch stets erhalten. | |
| [image] | |
| Einfluss des Korrelationsfaktors | |
| Gegeben ist ein Portfolio aus 2 Wertpapieren mit den Portfoliogewichten | |
| w und (1 - w) (w ∈[0;1]). | |
| Rendite des Portfolios: | |
| E[r_(P)] = wE[r₁] + (1 − w)E[r₂] | |
| Standardabweichung des Portfolios: | |
| $\sigma_P = \sqrt{w^2\sigma_1^2 + (1-w)^2\sigma_2^2 +2w(1-w)\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}$ | |
| Anhand der Formel ist erkennbar, dass der Korrelationskoeffizient einen | |
| direkten Einfluss auf die Standardabweichung σ_(P) ausübt. | |
| Einfluss des Korrelationsfaktors | |
| [image] | |
| Einfluss des Korrelationsfaktors | |
| 1. ρ_(ij) = +1 | |
| - Die Renditen der Wertpapiere verlaufen vollständig gleichgerichtet | |
| - Gesamtrisiko des Portfolios entspricht der Summe der mit den | |
| jeweiligen Portfolioanteilen gewichteten Standardabweichungen der | |
| beiden Wertpapiere (Durchschnittsrisiko, keine Diversifikation) | |
| 2. −1 ≤ ρ_(ij) ≤ +1 | |
| - Wenn der Korrelationskoeffizient sich verringert, sinkt das | |
| Portfoliorisiko zunehmend unter das Durchschnittsrisiko. | |
| (Diversifikationseffekt tritt ein) | |
| 3. ρ_(ij) = −1 | |
| - Die Renditen der Wertpapiere verlaufen vollständig gegenläufig | |
| - Gesamtrisiko des Portfolios kann auf 0 gesenkt werden (perfekte | |
| Diversifikation) | |
| Korrelationskoeffizient | |
| - Die Wirkung des Korrelationskoeffizienten ist erheblich für das | |
| Gesamtrisiko des Portfolios. | |
| - Bei der Zusammenstellung eines diversifizierten Portfolios ist es | |
| erforderlich, sowohl die Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse | |
| als auch die Korrelationen zwischen einzelnen Anlageklassen für das | |
| Portfolio als Ganzes zu berücksichtigen. | |
| Korrelationen | |
| Übersicht über die Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse | |
| Korrelationskoeffizient | |
| Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse: | |
| - In der Praxis bewegen sich die Renditen der einzelnen Anlageklassen, | |
| wie z.B. Aktien, sehr ähnlich. | |
| - Noch ausgeprägter ist dieser Effekt innerhalb einzelner Industrien. | |
| - Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Faktoren, die die Renditen | |
| bestimmen, wie Zinsniveau, Inflationsrate, wirtschaftliche Entwicklung | |
| und Währungseinflüsse alle Aktien ähnlichermaßen betreffen. | |
| Korrelationen | |
| Übersicht über die Korrelationen verschiedener Anlageklassen | |
| Achtung: Korrelationen sind nicht konstant und ändern sich im Laufe der | |
| Zeit. | |
| Asset Allocation | |
| - Erst durch die Beimischung anderer Anlageklassen wie Anleihen, Gold | |
| und Rohstoffen können die Vorteile niedriger Koeffizienten richtig | |
| genutzt werden. | |
| - Diese Verteilung (Diversifikation) des Vermögens auf verschiedene | |
| Assetklassen wird als Asset Allocation (Vermögensallokation) | |
| bezeichnet. | |
| - Schlüsselziel ist ein ausgewogenes Verhältnis von Risiko und Rendite | |
| im Gesamtportfolio. | |
| - Die Allokation erfolgt ähnlich zum Aktienportfolio durch die | |
| individuelle Abstimmung des jeweiligen Vermögensanteils an die | |
| Risikotoleranz, die Ziele und den Zeitrahmen des Anlegers. | |
| Markowitz Portfolio Theorie | |
| Markowitz Portfolio Theorie | |
| Markowitz Portfolio Theorie | |
| - 1952 legte Markowitz mit seinem Beitrag Portfolio Selection den | |
| Grundstein für die moderne Portfoliotheorie. | |
| - Markowitz war der Erste, der eine umfassende Methodik für die | |
| Portfolioanalyse und die Bestimmung effizienter Portfolios | |
| entwickelte. | |
| - Sein Modell dient nach wie vor als Grundlage für die Erstellung von | |
| Asset Allocations. | |
| - Die wichtigsten Grundsätze des Konzepts sind Diversifikation und | |
| Vermögensallokation. | |
| Markowitz-Optimierung | |
| - Das Ziel der Portfoliotheorie nach Markowitz ist es, ein Portfolio auf | |
| dem Kapitalmarkt so zu optimieren, dass es effizient ist. | |
| - Ein Portfolio heißt effizient, wenn es von keinem anderen Portfolio | |
| dominiert wird, dass | |
| - ein geringeres Risiko bei gleichem erwarteten Ertragswert hat oder | |
| - einen höheren erwarteten Renditewert bei gleichem Risikoniveau. | |
| - Die Menge aller effizienten Portfolios heißt Effizienzlinie. | |
| - Die Entscheidungsparameter des Modells sind die erwarteten Renditen, | |
| die Volatilitäten und die Korrelationen. | |
| Beispiel Risikoeffizienz | |
| Neben der risikofreien Geldanlage gibt es nur zwei risikobehaftete | |
| Wertpapiere. | |
| Beispiel: | |
| WP_(i) 1 2 | |
| -------- ------ --- ------ ---------------------------------- | |
| μ_(i) 0,07 < 0,12 (erwartete Rendite) | |
| σ_(i) 0,09 > 0,08 (Standardabweichung der Rendite) | |
| - Kann nur in eines der beiden Wertpapiere investiert werden, ist | |
| Wertpapier 2 risikoeffizient, da μ₂ > μ₁ und σ₂ < σ₁ gilt. | |
| - Können Portfolios aus den Wertpapieren 1 und 2 gebildet werden, gibt | |
| es mehr als eine effiziente Lösung, abhängig vom | |
| Korrelationskoeffizienten zwischen den Wertpapieren. | |
| Annahmen des Modells | |
| - Ausgangspunkt für die Optimierung ist ein (a) | |
| Ein-Perioden-Investitionsmodell, das sich mit der Entscheidung | |
| risikoaverser Privatanleger befasst, die riskante Wertpapiere kaufen | |
| wollen. | |
| - Annahmen über den Kapitalmarkt: | |
| - Vollkommener und effizienter Kapitalmarkt ohne Transaktionskosten | |
| und Steuern. | |
| - Man kann zu einem fest vorgegebenen Zinssatz risikofrei beliebig | |
| Geld anlegen und aufnehmen. | |
| - (c) Wertpapiere sind beliebig teilbar. | |
| - (d) Alle Wertpapiere können gleichzeitig gekauft werden (d.h., | |
| schließen sich nicht gegenseitig aus). | |
| - Leerverkäufe sind zulässig. | |
| - (e) Es ist bekannt, welche Zustände im Zeitpunkt 1 eintreten können | |
| und welche Eintrittswahrscheinlichkeiten den Zuständen zuzuordnen | |
| sind. | |
| - (f) Wertpapierrenditen sind normalverteilt, d.h. nur Erwartungswert | |
| und Volatilität sind von Interesse. | |
| - Dazu später mehr. | |
| - Annahmen über den Investor: | |
| - Ziel der Investoren ist Vermögensvermehrung. | |
| - (g) Die Investoren sind rational und risikoavers. | |
| - Investoren sind Preisnehmer. | |
| Das Optimierungsproblem | |
| Annahme: Die Anleger interessieren sich nur für die Rendite μ und die | |
| Varianz σ² (siehe Annahme oben) und wollen μ auf ein Zielrisiko σ² | |
| maximieren. | |
| Ferner sei gegeben: | |
| $$\begin{aligned} | |
| w &=& (w_1,...,w_N) \\ | |
| \mu &=& (\mu_1,...,\mu_N) \\ | |
| \Sigma &=& \begin{pmatrix} \sigma_{11} &... & \sigma_{1N} \\ ... & ... &... \\ \sigma_{N1} &...& \sigma_{NN} \end{pmatrix} | |
| \end{aligned}$$ | |
| wobei w das Gewicht des risikobehafteten Vermögenswerts, μ die erwartete | |
| Rendite und Σ die NxN-Kovarianzmatrix der Vermögenswerte ist. | |
| Gesucht ist die Lösung des Optimierungsproblems | |
| max μ^(T)w | |
| unter der Nebenbedingung | |
| w^(T)Σw = c. | |
| Dies wird zu | |
| max μ^(T)w − λ ⋅ w^(T)Σw, | |
| wobei ^(T) für die Transponierte der Matrix steht, λ einen | |
| Lagrange-Multiplier und c eine Konstante bezeichnet. | |
| Effizienzlinie: Zwei-Asset-Fall | |
| [image] | |
| Effizienzlinie: Multi-Asset-Fall | |
| [image] | |
| - Ein effizientes Portfolio bietet geringeres Risiko und besseren Ertrag | |
| als das beste einzelne Wertpapier, wenn die Wertpapiere untereinander | |
| keine sehr hohe Korrelation aufweisen. | |
| - ⇒ Daher wird der Anleger ein effizientes Portfolio einem einzelnen | |
| Wertpapier vorziehen. | |
| Bestimmung des optimalen Portfolios | |
| In welches Portfolio investieren? | |
| - Effiziente Portfolios wurden durch Dominanzüberlegungen bestimmt. | |
| Diese Dominanzüberlegungen gelten unabhängig von der Risikoeinstellung | |
| eines Investors! | |
| - Bei der Suche nach dem optimalen Portfolio können also die | |
| ineffizienten Portfolios ausgeschlossen werden, ohne genaueres über | |
| die Risikoeinstellung eines Investors wissen zu müssen. | |
| - Zur Bestimmung des optimalen Portfolios für den einzelnen Anleger aus | |
| der Menge der effizienten Portfolios werden die individuellen | |
| Präferenzen des Anlegers benötigt. | |
| ⇒ Indifferenzkurven | |
| - Im optimalen Portfolio entspricht die Steigung der Indifferenzkurve | |
| des Anlegers der Steigung der Effizienzlinie (Tangentialpunkt). | |
| - Optimales Portfolio: Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und | |
| Effizienzlinie. | |
| - Grafisch: Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller (μ, σ)- | |
| Kombinationen, die ein vorgegebenes Erwartungsnutzenniveau ergeben. | |
| - In der Theorie gerne genutzte Beispiele für eine Präferenzfunktion der | |
| Anleger wird gerne genutzt: | |
| Φ(μ, σ) = μ − α σ, | |
| wobei α (≥ 0) die Risikoaversion darstellt. | |
| Multi-Asset-Fall: Indifferenzkurven | |
| [image] | |
| Die Effizienzlinie und Indifferenzkurven | |
| - Jeder Anleger wählt das Portfolio, in dem seine individuelle | |
| Indifferenzkurve die Effizienzlinie tangiert. | |
| - Die Anleger halten aufgrund ihrer unterschiedlichen Risikopräferenzen | |
| jeweils verschiedene effiziente Portfolios. | |
| Tobin-Separation | |
| - Tobin erweiterte 1958 das Markowitz-Modell durch sein | |
| Separationstheorem, indem er einen risikofreien Zinssatz (z.B. | |
| Staatsanleihen, Spareinlagen) mit dem Zins r_(f) einführte. | |
| - Demnach gibt es nur ein universales Idealportfolio für alle, das sog. | |
| Tangentialportfolio. Die persönliche Risikotoleranz ist für die | |
| Bestimmung dieses Tangentialportfolios irrelevant. | |
| - Je nach persönlicher Risikobereitschaft investiert der Anleger | |
| entweder mehr in das Tangentialportfolio mit risikoreichen Anlagen | |
| oder mehr in die sicheren Anlagen. | |
| [image] | |
| Tobin-Separation Somit ergibt sich: | |
| - Erwartete Rendite: E[r_(P)] = w_(f)r_(f) + (1 − w_(f))E[r_(i)] | |
| - Volatilität: σ_(P) = (1 − w_(f))σ_(i) | |
| - Der risikolose Zinssatz eröffnet dem Anleger zusätzliche | |
| Möglichkeiten. Durch die Aufnahme zusätzlichen Kapitals kann er | |
| Renditen erzielen, die vorher nicht möglich gewesen wären. | |
| - Das Risiko hängt ausschließlich davon ab, wie hoch der Anteil des | |
| Tangentialportfolios ist, den der Anleger hält. | |
| Bestimmung risikoeffizienter Portfolios | |
| Bestimmung risikoeffizienter Portfolios | |
| - Ein Kapitalanleger möchte einen bestimmten Geldbetrag für eine Periode | |
| in Wertpapiere/Investitionsprojekte (risikolos und risikobehaftet) | |
| anlegen. Ergebnisgröße: Endvermögen $\widetilde{EV}$ oder | |
| Portfoliorendite r̃_(PF), da $\widetilde{EV}$ = AV(1 + r̃_(PF))). | |
| - Wie gehen wir dabei vor? | |
| - bei Sicherheit: Investiere in das Wertpapier, das die höchste | |
| Rendite abwirft. | |
| - bei Unsicherheit: Risiko muss berücksichtigt werden. → Abwägen | |
| zwischen Ertrag und Risiko mit dem Ziel einer geeigneten | |
| Risikomischung. | |
| - Portfoliorendite: r̃_(PF) = x_(A) ⋅ r̃_(A) + x_(B) ⋅ r̃_(B) + x_(s) ⋅ k | |
| - Oder Endvermögen: | |
| $\widetilde {EV} = x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B + x_s \cdot (1+k)$ | |
| - Erwartungswert und Varianz bestimmen! | |
| [image] | |
| - Risikoeffiziente Portfolios liegen auf markiertem Bereich. | |
| - ρ = Korrelationskoeffizient als Maß für den Zusammenhang zwischen den | |
| Wertpapieren. | |
| [image] | |
| x₁, x₂, x_(s): wertmäßiger Anteil von Wertpapier i am Gesamtportfolio. | |
| → neue Effizienzlinie (Tangente) wird durch zwei Punkte beschrieben. | |
| - (μ, σ)-Kombination der risikolosen Geldanlage (x_(s) = 1). | |
| - Tangentialpunkt an die alte Effizienzlinie (x_(s) = 0; x_(T) = 1). | |
| - Das Verhältnis der risikobehafteten Wertpapiere zueinander ist in den | |
| PFs auf der Effizienzlinie immer gleich. | |
| Bestimmung risikoeffizienter Portfolios | |
| 2 Ansätze: | |
| 1. endvermögensorientierter Ansatz | |
| 2. renditeorientierter Ansatz | |
| Endvermögensorientierter Ansatz: | |
| ----- -------------- -------------------------------------------------------- -- | |
| Sei P₀^(A): Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 0, | |
| P₀^(B): Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 0, | |
| P̃₁^(A): stochastischer Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 1, | |
| P̃₁^(B): stochastischer Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 1, | |
| k: risikoloser Zinssatz für Geldanlage von einer Periode, | |
| W₀: Anfangsvermögen, | |
| x_(A)/x_(B): Stückzahl, die von Wertpapier A/B im Zeitpunkt 0 | |
| gekauft wird, | |
| x_(s): Betrag, der im Zeitpunkt 0 sicher investiert wird. | |
| ----- -------------- -------------------------------------------------------- -- | |
| Endvermögensorientierter Ansatz: | |
| Es gilt: | |
| -------- ---------------------------------------------- -- -- | |
| t = 0: x_(A) ⋅ P₀^(A) + x_(B) ⋅ P₀^(B) + x_(s) = W₀ | |
| -------- ---------------------------------------------- -- -- | |
| -------- ------------------ --- --------------------------------------------------------------- | |
| t = 1: $\widetilde{EV}$ = x_(A) ⋅ P̃₁^(A) + x_(B) ⋅ P̃₁^(B) + x_(s)(1 + k) | |
| = x_(A) ⋅ P̃₁^(A) + x_(B) ⋅ P̃₁^(B) | |
| +(W₀ − x_(A) ⋅ P₀^(A) − x_(B) ⋅ P₀^(B))(1 + k) | |
| = x_(A)(P̃₁^(A) − P₀^(A)(1 + k)) + x_(B)(P̃₁^(B) − P₀^(B)(1 + k)) | |
| +W₀(1 + k) | |
| -------- ------------------ --- --------------------------------------------------------------- | |
| ⇔ $\widetilde{EV}$ = $x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0(1+k)$ | |
| --- ------------------ ------------------------------------------------------------------------ -- | |
| -- -- -------------------------------------------------------------------------------------- -- | |
| mit $\widetilde{RP}_i \mathrel{\widehat{=}}$ Risikoprämie von Wertpapier i (i = A,B) | |
| -- -- -------------------------------------------------------------------------------------- -- | |
| Endvermögensorientierter Ansatz: | |
| Risikoeffiziente Portfolios | |
| ---------------------------------------------------------- ------------------ ------------------------------------------------------ | |
| var $\widetilde{EV}$$\rightarrow \min\limits_{x_A,x_B}$ E$\widetilde{EV}$$\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$ | |
| ODER | |
| u. d. NB. u. d. NB. | |
| E$\widetilde{EV}$= c = const. var $\widetilde{EV}$= c = const. | |
| ---------------------------------------------------------- ------------------ ------------------------------------------------------ | |
| Endvermögensorientierter Ansatz: | |
| Lösung: Lagrange-Ansatz | |
| Berechnung von $\mbox{E}\lbrack \widetilde{EV}\rbrack$ und | |
| $\mathop{\mathrm{var}}\lbrack \widetilde{EV}\rbrack$: | |
| $$\begin{aligned} | |
| \mbox{E}[\widetilde{EV}] & = & \mbox{E}[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0 \cdot (1+k)] \\[7pt] | |
| & = & \fbox{$x_A \cdot \mbox{E}[\widetilde{RP}_A] + x_B \cdot \mbox{E}[\widetilde{RP}_B] + W_0 \cdot (1+k)$} \\[14pt] | |
| \mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{EV}] & = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0 \cdot (1+k)] \\[7pt] | |
| & = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B ] \\[7pt] | |
| & = & x_A^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{RP}_A] + x_B^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{RP}_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \mathop{\mathrm{cov}}[\widetilde{RP}_A; \widetilde{RP}_B] \\[7pt] | |
| & \stackrel{(*)}{=} & \fbox{$x_A^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A] + x_B^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]$} | |
| \end{aligned}$$ | |
| Endvermögensorientierter Ansatz: | |
| Es gilt (*): | |
| $$\begin{aligned} | |
| \mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{RP}_A] & = & \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A - P_0^A \cdot(1+k)] = \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A] \\[7pt] | |
| \mathop{\mathrm{cov}}[\widetilde{RP}_A; \widetilde{RP}_B] & = & \text{Cov}[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B] | |
| \end{aligned}$$ | |
| Falls Cov nicht angegeben, aber ρ | |
| $$\begin{aligned} | |
| \rho_{A,B} & = & \frac{\mathop{\mathrm{cov}}[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]}{\sqrt{\mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A] \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^B]}} | |
| \end{aligned}$$ | |
| Renditeorientierter Ansatz: | |
| ----- ---------------------- ---------------------------------------- | |
| Sei r̃_(A), r̃_(B): stochastische Rendite Wertpapier A/B | |
| r̃_(PF): stochastische Portfoliorendite | |
| x_(A), x_(B), x_(s): wertmäßiger Anteil von Wertpapier i am | |
| GesamtPortfolio | |
| k: risikoloser Zinssatz | |
| ----- ---------------------- ---------------------------------------- | |
| Renditeorientierter Ansatz: | |
| Es gilt: | |
| -------- --------------------------- -- -- | |
| t = 0: x_(A) + x_(B) + x_(s) = 1 | |
| -------- --------------------------- -- -- | |
| -------- -------- --- ------------------------------------------------------------------- | |
| t = 1: r̃_(PF) = x_(A) ⋅ r̃_(A) + x_(B) ⋅ r̃_(B) + x_(s) ⋅ k | |
| = x_(A) ⋅ r̃_(A) + x_(B) ⋅ r̃_(B) + (1 − x_(A) − x_(B)) ⋅ k | |
| = x_(A) ⋅ (r̃_(A) − k) + x_(B) ⋅ (r̃_(B) − k) + k | |
| = $x_A \cdot (\widetilde{rp}_A) + x_B \cdot (\widetilde{rp}_B) + k$ | |
| -------- -------- --- ------------------------------------------------------------------- | |
| mit $\widetilde{rp}_i \stackrel{\widehat{}}{=}$ Risikoprämie von | |
| Wertpapier i [in % (i = A, B)] | |
| Renditeorientierter Ansatz: | |
| Risikoeffiziente Portfolios | |
| ------------------------------------------------ ------------------ -------------------------------------------- | |
| var r̃_(PF)$\rightarrow \min\limits_{x_A,x_B}$ Er̃_(PF)$\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$ | |
| ODER | |
| u. d. NB. u. d. NB. | |
| Er̃_(PF)= c = const. var r̃_(PF)= c = const. | |
| ------------------------------------------------ ------------------ -------------------------------------------- | |
| Renditeorientierter Ansatz: | |
| Berechnung von E[r̃_(PF)] und var [r̃_(PF)]: | |
| $$\begin{aligned} | |
| \mbox{E}[\tilde r_{PF}] & = & \mbox{E}[x_A \cdot \widetilde{rp}_{A} + x_B \cdot \widetilde{rp}_{B} + k] \\[7pt] | |
| & = & \fbox{$x_A \cdot \mbox{E}[\widetilde{rp}_A] + x_B \cdot \mbox{E}[\widetilde{rp}_B] + k$} \\[14pt] | |
| \mathop{\mathrm{var}}[\tilde r_{PF}] & = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{rp}_A + x_B \cdot \widetilde{rp}_B + k] \\[7pt] | |
| & = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{rp}_A + x_B \cdot \widetilde{rp}_B ] \\[7pt] | |
| & = & \ldots \\[7pt] | |
| %& & = x_A^2 \cdot Var[\tilde RP_A] + x_B^2 \cdot Var[\tilde RP_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B Cov[\tilde RP_A; \tilde RP_B] | |
| & = & \fbox{$x_A^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde r_A] + x_B^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde r_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde r_A; \tilde r_B]$} | |
| \end{aligned}$$ | |
| Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz | |
| ----- -------------- ------------------------------------------------------- -- | |
| Sei P₀^(A): Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 0, | |
| P₀^(B): Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 0, | |
| P̃₁^(A): stochastischer Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 1, | |
| P̃₁^(B): stochastischer Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 1, | |
| k: risikoloser Zinssatz für Geldanlage von einer Periode | |
| W₀: Anfangsvermögen, | |
| x_(A)/x_(B): Stückzahl, die von Wertpapier A/B im Zeitpunkt 0 | |
| gekauft wird, | |
| x_(s): Betrag, der im Zeitpunkt 0 sicher investiert wird, | |
| ----- -------------- ------------------------------------------------------- -- | |
| Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz | |
| -- --------------- --------------------------------------------------- -- | |
| r̃_(A), r̃_(B): stochastische Rendite von Wertpapier A/B, | |
| r̃_(PF): stochastische Portfoliorendite, | |
| x^(′)_(i): wertmäßiger Anteil von Wertpapier i (i = A, B, s) | |
| am GesamtPortfolio. | |
| -- --------------- --------------------------------------------------- -- | |
| Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz | |
| -------- ---------------------------------------------- | |
| t = 0: x_(A) ⋅ P₀^(A) + x_(B) ⋅ P₀^(B) + x_(s) = W₀ | |
| -------- ---------------------------------------------- | |
| t = 1: | |
| --- --------------------------------------------------------------------- --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | |
| $\widetilde{EV}$ = x_(A) ⋅ P̃₁^(A) + x_(B) ⋅ P̃₁^(B) + x_(s)(1 + k) | |
| ⇒ $\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}$ = $\frac{x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B + x_s(1+k)-(x_A \cdot P_0^A + x_B \cdot P_0^B+x_{s})}{W_{0}}$ | |
| ⇒ $\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}$ = $\frac{x_A (\tilde P_1^A - P_0^A)}{W_{0}}\cdot \frac{P_0^A}{P_0^A} + \frac{x_B(\tilde P_1^B - P_0^B)}{W_{0}}\cdot \frac{P_0^B}{P_0^B} +\frac{x_s}{W_{0}}\cdot k$ | |
| ⇒ $\underbrace{\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}}_{\tilde r_{EV}}$ = $\underbrace{\frac{x_A P_0^A}{W_{0}}}_{x'_{A}}\cdot \underbrace{\frac{(\tilde P_1^A - P_0^A)}{P_0^A}}_{\tilde r_{A}} + \underbrace{\frac{x_B P_0^B}{W_{0}}}_{x'_{B}}\cdot \underbrace{\frac{(\tilde P_1^B - P_0^B)}{P_0^B}}_{\tilde r_{B}}+\underbrace{\frac{x_s}{W_{0}}}_{x'_{s}} k$ | |
| ⇔ r̃_(EV) = x^(′)_(A) ⋅ r̃_(A) + x^(′)_(B) ⋅ r̃_(B) + x^(′)_(s) ⋅ k | |
| --- --------------------------------------------------------------------- --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | |
| Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz | |
| Es gilt: | |
| $$\begin{aligned} | |
| \frac{x_A \cdot P_0^A}{W_0} + \frac{x_B \cdot P_0^B}{W_0} + \frac{x_s}{W_0} = 1 & \Leftrightarrow & x_A^{'} + x_B^{'} + x_s^{'} = 1 | |
| \end{aligned}$$ | |
| Performancemaßstab | |
| - Mit der Messung der relativen Performance soll die Frage beantwortet | |
| werden, ob das gewählte Portfolio die festgelegte Benchmark über einen | |
| bestimmten Zeitraum risikoadjustiert übertroffen hat. | |
| - Die Sharpe-Ratio berechnet die erzielte Überschussrendite des | |
| Portfolios im Verhältnis zum Gesamtrisiko des Portfolios: | |
| $$SR_P = \frac{\mbox{E}[r_P]- r_f}{\sigma_P}$$ | |
| - Die Ratio entspricht der erzielten Überrendite pro angenommener | |
| Volatilitätseinheit. Ziel ist es, einen möglichst hohen SR-Wert zu | |
| erreichen. | |
| Grenzen und Kritik des Modells | |
| - Kritik an den Grundannahmen des Modells. | |
| - ⇒ s. bspw. Normalverteilungsannahme | |
| - Rationalität des Investors ist fraglich ⇒ s. Behavorial Finance | |
| - In der Praxis müssen die Transaktionskosten und die Effizienz des | |
| Optimierungsverfahrens berücksichtigt werden. | |
| - Bestimmung der erwarteten Renditen und Volatilitäten ausschließlich | |
| anhand historischer Daten. | |
| - Schätzfehler oder Strukturbrüche | |
| - Dynamische Korrelationen von Anlageklassen in Krisensituation etc. | |
| - Die Anlegerpräferenzen lassen sich nur schwer in Zahlen ausdrücken. | |
| - Optimierte Portfolios weisen oft extreme Allokationen auf, z.B. einen | |
| hohen Anteil an Leerverkäufen. In der Praxis ist das eher nicht | |
| machbar oder sinnvoll. | |
| - Die Portfoliogewichte reagieren empfindlich auf Änderungen der | |
| Modellparameter. | |
| - Optimale Lösungen übergewichten Vermögenswerte mit höheren | |
| Renditeerwartungen. | |
| Normalverteilung vs. empirische Verteilung | |
| [image] | |
| Empirische Verteilung Renditen des MSCI World Index und der | |
| Normalverteilung | |
| Stylisierte Fakten zu Finanzzeitreihen | |
| - Wie die vorstehende Abbildung zeigt, weisen (viele) Finanzzeitreihen | |
| nicht-normalverteilte Merkmale auf. | |
| - Diese Merkmale betreffen die univariaten Verteilungen mit übermäßiger | |
| Kurtosis (fat tails) und Schiefe, | |
| - Aber auch die multivariaten Verteilungen mit nichtlinearen | |
| Abhängigkeitsstrukturen. | |
| - So sind beispielsweise gemeinsame Börsencrashs weitaus häufiger als | |
| gemeinsame Aufschwünge. | |
| Naive 1/N-Allokation | |
| - Naive Diversifikation ist die unkomplizierte Aufteilung eines | |
| Portfolios auf N Vermögenswerte. | |
| - Neuere Studien zur Vermögensallokation wie und kommen zu dem Schluss, | |
| dass die einfache Allokationsregel 1/N gute Resultate liefert. | |
| - Im Vergleich zu anderen, komplizierteren Asset-Allocation-Strategien, | |
| einschließlich des Markowitz-Portfolios, schneidet es bei der | |
| Sharpe-Ratio gut ab. | |
| - Fazit: Diversifikation ist unabdingbar, aber der Nutzen | |
| fortgeschrittener mathematischer Modelle ist unklar. | |
| Zusammenfassung und Ausblick | |
| Zusammenfassung und Ausblick | |
| - Heute haben wir uns mit der Bewertung von Anlagealternativen unter | |
| Risiko beschäftigt. | |
| - Wir sind jetzt in der Lage, einzelne Zahlungsströme unter Risiko zu | |
| bewerten. | |
| - Ebenfalls haben wir die Kombination von verschieden Anlagealternativen | |
| zu Portfolios diskutiert. | |
| - Bisher haben wir bei der Berechnung des Barwertes jedoch die Cash | |
| Flows aller Perioden mit einem konstanten Abzinsungsfaktor berechnet. | |
| - In der Realität unterscheiden sich aber häufig kurzfristige und | |
| langfristige Zinssätze. | |
| - Der Zusammenhang zwischen kurzfristigen und langfristigen Zinssätzen | |
| wird mittels der Theorie der Zinsstruktur beschrieben. | |
| - In der nächsten Vorlesung beschäftigen wir uns aber erst mit | |
| Kapitalmarktmodellen, genauer mit dem CAPM. | |
| Literatur | |
| Literatur | |