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Überblick

- Heute, in unserer letzten Vorlesung, beschäftigen wir uns mit
  veränderlichen Zinssätzen und der Theorie der Zinsstruktur.

Theorie der Zinsstruktur

Theorie der Zinsstruktur

Theorie der Zinsstruktur

- Bisher sind wir stets von einem einheitlichen Zins r ausgegangen, der
  insb. unabhängig von dem Anlagehorizont bzw. bei Festzinstiteln
  unabhängig von der Laufzeit des Zinstitels ist.

- Empirische Analysen zeigen jedoch, dass die Rendite eine Funktion der
  Restlaufzeit ist und sich diese Funktion im Zeitablauf ändert.

- Zur Quantifizierung dieses Sachverhalts führen wir im Folgenden die
  Konzepte der Renditestrukturkurve sowie der Zinsstrukturkurve ein.

- Die folgende Abbildung zeigt die Zinsstruktur in zwei
  unterschiedlichen Zeitpunkten.

[image]

Wir unterscheiden die folgenden Zinssätze:

- Spot Rate - der aktuelle Zinssatz heute (t = 0).

- Forward Rate - der Zinssatz, der heute festgelegt wird, zu einem
  festgelegten Zeitpunkt in der Zukunft.

- Future Rate - die erwartete zukünftige Spot Rate.

- Yield to Maturity - der interne Zinsfuß einer verzinslichen Anlage.

Definition: Die internen Renditen der Einheitszerobonds werden als Spot
Rates (Kassazinssätze) bezeichnet. Ist b(0, t) der Preis des
Einheitszerobonds mit Laufzeit t, so gilt die interne Zinsfuß-Gleichung:
b(0, t) = 1 ⋅ (1 + r)^(−t).
D. h. die Preise b(0, t), t > 0, der Einheitszerobonds sind äquivalent
zu den Diskontierungsfaktoren.

[image]

Definition: Die Forward Rate (Terminzinssatz) ist der Zinssatz, der
heute (Zeitpunkt 0) vereinbart wird für eine Mittelanlage zum Zeitpunkt
s über t − s Perioden.
Formel der impliziten Forward Rate:
$$\begin{aligned}
r_{s,t} = \sqrt[t-s]{\frac{(1+r_{0,t})^t}{(1+r_{0,s})^s}}-1
\end{aligned}$$

[image]

Definition: Renditestrukturkurve Die Renditestrukturkurve (Yield Curve)
beschreibt die funktionale Abhängigkeit der Rendite (interner Zinsfuß)
von Kuponanleihen (gleicher Gattung und Bonität) von ihrer Restlaufzeit.

Renditestrukturkurven

Die Renditestrukturkurve (Yield Curve) erfasst die funktionale
Abhängigkeit der Rendite (auf Basis des internen Zinsfußes) von
Festzinstiteln (gleicher Gattung und Bonität) von ihrer Restlaufzeit.
Bei ganzzahligen Restlaufzeiten T = 1, …, n ist die Renditestrukturkurve
zu einem festen Zeitpunkt s spezifiziert durch die Menge der
Renditegrößen
{y₁(s), ..., y_(n)(s)}

und im allg. Fall durch die Menge der Renditegröße
{y_(T)(s); T > 0},
wobei y_(T)(s) die Rendite eines Bonds zum Zeitpunkt s bei einer
Restlaufzeit von T Perioden bezeichne. Alternativ wird auch die Notation
y(s, s + T) verwendet.

- In der Praxis betrachtet man die durchschnittliche empirische Rendite
  von Anleihen (gleicher Gattung und Bonität) gleicher Restlaufzeit.

- Anschließend verwendet man ein Glättungsverfahren zur Anpassung einer
  bestimmten funktionalen Struktur an die empirischen Renditen.

- Sind die internen Renditen für alle Restlaufzeiten identisch, so
  spricht man von einer flachen Renditestruktur.

- Nehmen die Renditen mit zunehmender Restlaufzeit zu, liegt eine
  steigende (normale) Renditestruktur vor.

- Nehmen die Renditen mit zunehmender Laufzeit ab, spricht man von einer
  fallenden (inversen) Renditestruktur.

Renditestrukturkurven

[image]

Zinsstrukturkurven

Definition: Zinsstrukturkurve Die Zinsstrukturkurve beschreibt die
funktionale Abhängigkeit der Renditen (interne Renditen) von
Nullkuponanleihen (gleicher Gattung und Bonität) von ihrer Restlaufzeit.

- Die Zinsstrukturkurve (Term Structure of Interest Rates) erfasst
  ebenfalls die funktionale Abhängigkeit der Rendite von ihrer
  Restlaufzeit. Hierbei werden jedoch nur Nullkuponanleihen zugrunde
  gelegt.

- Bei ganzzahligen Restlaufzeiten T = 1, …, n ist die Zinsstrukturkurve
  zu einem festen Zeitpunkt s spezifiziert durch die Menge der Größen
  {r₁(s), ..., r_(n)(s)}

  und im allg. Fall durch die Menge der Größen
  {r_(T)(s); T > 0}
  wobei r_(T)(s) den internen Zinsfuß (auch: Kassazinssatz, Spot Rate)
  zum Zeitpunkt s einer Nullkuponanleihe mit Restlaufzeit T bezeichnet.
  Alternativ wird auch die Notation r(s, s + T) verwendet.

Diskontstrukturkurve Die Diskontstrukturkurve ist allg. spezifiziert
durch die Größen
{b_(T)(s); T > 0}
Sie ist äquivalent zur Zinsstrukturkurve und gibt die Kurse von
Einheitszerobonds mit Restlaufzeit T zum Zeitpunkt s an. Alternativ zur
Notation b_(T)(s) wird auch die Notation b(s, s + T) verwendet.
Der Zusammenhang zwischen Zins- und Diskontstrukturkurve ist bei
diskreter Verzinsung gegeben durch
$$r_T(s) = \sqrt[T]{ \frac {1}{b_T(s)} } - 1  \Leftrightarrow b_T(s) = \left[ 1 + r_T(s) \right] ^{-T}$$

- Vor dem Hintergrund der Problematik des internen Zinsfußes im Kontext
  der Wiederanlage von zwischenzeitlichen Zahlungen, ist nur die Zins-
  bzw. äquivalent die Diskontstruktur eine unverzerrte Konzeption zur
  Quantifizierung der Fristigkeitsabhängigkeit der Zinssätze, da hier
  die Wiederanlageproblematik entfällt.

- Hieraus lassen sich weitergehende Überlegungen bspw. zur Bewertung von
  festverzinslichen Titeln oder zur Quantifizierung des
  Zinsänderungsrisikos anstellen.

- Eine zu einem bestimmten Zeitpunkt gegebene Zinsstruktur {r_(T)(s)}
  beinhaltet neben den Kassazinssätzen auch Informationen über die
  impliziten Terminsätze (Implied Forward Rates).

- Die Forward Rates f₁(s), …, f_(T)(s) geben dabei die Verzinsung für
  die zukünftigen sukzessiven Perioden
  [s, s + 1], [s + 1, s + 2], …, [s + T − 1, s + T] an.

- Aufgrund von Arbitrageüberlegungen gilt:
  (1 + r_(0, s))^(s) ⋅ (1 + f_(s, t))^(t − s) = (1 + r_(0, t))^(t)

- Ein Investor, der über t Perioden Geld anlegen möchte, wägt ab
  zwischen einer einmaligen Anlage zum Zinssatz r_(0, t) über t
  Perioden, und einer Anlage jeweils auf eine Periode revolvierend zu
  den Zinssätzen r_(0, 1), f_(1, 2), f_(2, 3), …, f_(t − 1, t).

Renditestrukturtypen

[image]

Quelle: Albrecht (2007), S. 84.

- Allgemein gilt
  [1 + r_(T)(s)]^(T) = [1 + f₁(s)][1 + f₂(s)] ⋅ ... ⋅ [1 + f_(T)(s)]

- Damit folgt
  $$r_T(s) = \sqrt[T]{ \prod [1 + f_t(s)] } - 1$$

- Außerdem gilt ferner
  1 + f₁(s) = 1 + r₁(s)  bzw.  f₁(s) = r₁(s)
  sowie für T ≥ 2
  $$\label{eq:ref1}
      1 + f_T(s) = \frac {[1 + r_T(s)]^T}{[1 + r_{T-1}(s)]^{T-1}} = \frac {[1 + r_T(s)]^T}{[1 + f_1(s)] ... [1 + f_{T-1}(s)]}$$

- Bei flacher Zinsstruktur fallen Spot und Forward Rate zusammen, denn
  aus r_(t)(s) = r für alle t folgt unmittelbar f_(t)(s) = r für alle t.

- Die Forward Rates lassen sich ebenso aus der Diskontstruktur ableiten.
  Zwischen Diskontsätzen und Forward Rates gilt zunächst der
  Zusammenhang
  $$b_T(s) = [1 + r_T(s)]^{-T} = \prod_{i=1}^T [1 + f_t(s)]^{-1}$$

- In Gleichung [eq:ref1] ist daher nur [1 + r_(T)(s)]^(T) durch
  $\frac{1}{b_T(s)}$ zu ersetzen.

Zeitstruktur der Zinssätze

[image]

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Anwendung auf die Kursrechnung

- Wir wollen nun den fairen Wert P₀ eines Zahlungsstroms
  Z = {Z₁, …, Z_(T)} im verallgemeinerten Zinsmodell bestimmen und
  stellen dafür eine Arbitragefreiheitsüberlegung an.

- Den Ausgangspunkt bilden die Zinsstruktur {r₁, …, r_(T)} in t = 0 bzw.
  die daraus abgeleiteten impliziten Terminzinssätze {f₁, …, f_(T)},
  wobei r_(t) := r_(t)(0) und f_(t) := f_(t)(0).

- Eine Investition von P₀ in Zerobonds gemäß der aktuellen Zinsstruktur
  muss denselben Endwert haben wie der Kauf des Titels und die
  Reinvestition der Rückflüsse zu Marktbedingungen.

- Diese Überlegung beruht darauf, dass die Zinsstruktur {r₁, …, r_(T)}
  für t > 0 unverändert bleibt bzw. die impliziten Terminsätze auch
  eintreten, d.h. mit den zukünftigen Wiederanlagezinssätzen
  zusammenfallen (Vernachlässigung des Zinsänderungsrisikos).

- Unter Benutzung der Terminsätze folgt daraus die Bedingung
  $$P_0 \prod_{t=1}^T (1 + f_t) = \sum_{t=1}^T Z_t \prod_{i=t+1}^T (1 + f_i)$$

- Hieraus ergibt sich
  $$P_0(f_1,...,f_T) = \sum_{t=1}^T Z_t  \left( \prod_{i=1}^t (1 + f_i) \right) ^{-1}$$

- In Abhängigkeit von den Spot Rates lautet die Preisgleichung
  entsprechend
  $$P_0(r_1,...,r_T) = \sum_{t=1}^T Z_t(1 + r_t)^{-t}$$

- und in Abhängigkeit von den Diskontfaktoren schließlich
  $$P_0(b_1,...,b_T) = \sum_{t=1}^T Z_tb_t$$

- Hieraus wird insb. deutlich, dass der Preis eines Kuponbonds der Summe
  der Barwerte der Zerobonds, in die er zerlegt werden kann
  (Bond-Stripping), entspricht.

- Wir schauen uns nun die Methode des Bootstrapping an.

- Für jede der Restlaufzeiten t = 1, …, m liege hierbei ein Kuponbond
  mit Laufzeit t, Preis P_(t) und Zahlungsstrom Z = {Z_(t1), …, Z_(tt)}
  vor.

- Damit besteht das Gleichungssystem
  $$\begin{split}
      P_1 &= Z_{11}b_1 \\  
      P_2 &= Z_{21}b_1 + Z_{22}b_2 \\
          \vdots \\
      P_t &= Z_{t1}b_1 + Z_{t2}b_2 +...+ Z_{tt}b_t  \\
          \vdots \\
      P_m &= Z_{m1}b_1 + Z_{m2}b_2 +...+ Z_{mt}b_t +...+ Z_{mm}b_m
   \end{split}$$
  für die Diskontstrukturkurve {b₁, …, b_(m)}.

- Nach rekursivem Auflösen des Gleichungssystems gilt
  b₁ = P₁/Z₁₁, b₂ = (P₂ − Z₂₁b₁)/Z₂₂, etc.

- So kann die Diskontstruktur direkt aus den Kuponbondpreisen abgeleitet
  werden (und daraus dann die Zinsstruktur).

Beispiel: Bootstrapping Gegeben sind drei Kuponbonds mit identischem
Nennwert N = 1000, den Restlaufzeiten t = 1, 2 sowie 3, einem
einheitlichen Kupon von Z = 50 und Marktpreisen P₁ = 999, P₂ = 998 sowie
P₃ = 997. Bestimmen Sie die Diskontstruktur {b₁, b₂, b₃} sowie die
Zinsstruktur {r₁, r₂, r₃}.

- Zahlungsströme:

  - Bond 1: {−999, 1050}

  - Bond 2: {−998, 50, 1050}

  - Bond 3: {−997, 50, 50, 1050}

- Bootstrapping-Gleichungssystem:

  1.  999 = 1050b₁

  2.  998 = 50b₁ + 1050b₂

  3.  997 = 50b₁ + 50b₂ + 1050b₃

- Aus (1) folgt $b_1 = \frac {999}{1050} = 0.9514$

- und damit $r_1 = \frac {1}{b_1} - 1 = 5.1051\%$

- Aus (2) folgt
  $b_2 = \frac {998-50b_1}{1050} = \frac {998-47.57}{1050} = \frac {950.43}{1050} = 0.9052$

- und damit $r_2 = \sqrt {\frac {1}{b_2}} - 1 = 5.1078\%$

- Aus (3) folgt schließlich:
  $b_3 = \frac {997-50b_1-50b_2}{1050} = \frac {997-47.57-45.26}{1050} = \frac {904.17}{1050} = 0.8611$

- und damit $r_3 = \sqrt[3] {\frac {1}{b_3}} - 1 = 5.1106\%$.

Erklärung der Zinsstruktur

Erklärung der Zinsstruktur

- Frage: Was bestimmt die Gestalt der Zinsstruktur?

- Mögliche Erklärungen liefern die Erwartungstheorie und die
  Liquiditätstheorie.

Erwartungstheorie

- Idee: Ausnutzung des Zusammenhangs zwischen den heutigen
  Forward-Zinssätzen/Terminzinssätzen und den Zinssätzen der kommenden
  Periode.

- Die Erwartungstheorie unterstellt Risikoneutralität und besagt, dass
  eine Investition in eine Reihe von Anleihen mit kurzer Laufzeit im
  Gleichgewicht die gleiche erwartete Rendite bieten muss wie eine
  Investition in eine einzelne Anleihe mit langer Laufzeit.

- Sie besagt, dass der einzige Grund für eine nach oben geneigte
  Laufzeitstruktur darin besteht, dass die Anleger einen Anstieg der
  kurzfristigen Zinssätze erwarten.

- Der einzige Grund für eine sinkende Terminstruktur ist, dass die
  Anleger erwarten, dass die kurzfristigen Zinssätze fallen.

- Die Erwartungstheorie kann keine vollständige Erklärung für die
  Zinsstruktur sein, wenn sich die Anleger Sorgen um das Risiko machen.

- Begründung durch Arbitrageüberlegungen. Es gilt:
  (1 + r_(0, s))^(s) ⋅ (1 + r̃_(s, t))^(t − s) = (1 + r_(0, t))^(t)

- Die Forward-Zinssätze sind bekannt, daraus sollen sich die kommenden
  Zinssätze erklären lassen.

- Die Zinsstruktur wird über die Erwartungen über die Entwicklung der
  kurzfristigen Zinssätze erklärt:

  - Investor, der über t Perioden Geld anlegen möchte, wägt ab zwischen
    einmaliger Anlage zum Zinssatz r_(0, t) über t Perioden, und Anlage
    jeweils auf eine Periode revolvierend zu den Zinssätzen
    r_(0, 1), r̃_(1, 2), r̃_(2, 3), …, r̃_(t − 1, t).

  - Zinssätze r̃_(1, 2), r̃_(2, 3), …, r̃_(t − 1, t) sind im ZP 0
    unbekannt.

  - Erwartungstheorie unterstellt Risikoneutralität ⇒ Kapitalanleger
    verhält sich gegenüber einem mit unsicheren Zinserwartungen
    verbundenen Risiko neutral.

- Erwartetes EV beider Anlageformen ist (wg. der Risikoneutralität)
  gleich groß:
  (1 + r_(0, t))^(t) = (1 + r_(0, 1)) ⋅ (1 + E[r̃_(1, 2)]) ⋅ (1 + E[r̃_(2, 3)])… ⋅ (1 + E[r̃_(t − 1, t)]).

- Dieser Argumentation entsprechend gilt:
  E[r̃_(1, 2)⁽¹⁾] = r_(1, 2)⁽⁰⁾.

- D. h. der erwartete Einjahres-Zinssatz in einem Jahr (E[r̃_(1, 2)⁽¹⁾])
  entspricht dem heutigen Forward-Zinssatz (r_(1, 2)⁽⁰⁾).

  ⇒ Eine Prognose, die mit großen Unsicherheiten verbunden ist.

- Auf einem arbitragefreien Kapitalmarkt definiert die gegenwärtige
  Zinsstruktur eindeutig die Terminzinssätze. Diese legen die
  Erwartungswerte der zukünftigen Zinssätze fest.

Liquiditätspräferenztheorie

- Postuliert, dass Forward-Zinssätze immer über den zukünftigen
  Zinssätzen liegen.

- Begründung:

  - Anleger/Finanzinvestoren wollen liquide bleiben und bevorzugen daher
    eher kurze Laufzeiten bei der Anlage.
    ⇒ trotz steigender Zinssätze finden Kapitalgeber eine längerfristige
    Bindung uninteressant.

  - Folge: Anlegern muss für längere Laufzeiten eine Prämie geboten
    werden = Zinsstrukturkurve ist ansteigend auch wenn Zinsen in der
    Zukunft nicht steigen (Zinssätze müssen wg. der Prämie nicht
    zwingend steigen!).

  - Schuldner bevorzugen dagegen langfristiges Kapital (u. a. wegen
    Planungssicherheit).

- Insgesamt:

  - Überschussangebot an Kapital im kurzfristigen Bereich, weil sich
    viele Investoren nur kurzfristig binden möchten.

  - Überschussnachfrage an Kapital im langfristigen Bereich;
    Kapitalnehmer bevorzugen langfristige Finanzierungen.

  - ⇒ um diese Überschüsse zum Ausgleich zu bringen, muss die
    Zinsstruktur ansteigen.

- Bei einer flachen Zinsstrukturkurve gäbe es ein Überangebot an
  kurzfristigem und eine Übernachfrage nach langfristigem Kapital. Um
  das Ungleichgewicht zu beseitigen, müssen die Zinsen am langen Ende
  steigen. Eine steigende Zinsstrukturkurve stellt sich ein und kann
  über die Zeit hinweg stabil bleiben.

Kritik

- Investoren, die durch eine Geldanlage Auszahlungen zu späteren
  Terminen finanzieren wollen.

- Die aus einer Geldanlage resultierenden zukünftigen Einzahlungen
  sollten möglichst die geplanten Auszahlungen übersteigen.
  ⇒ Wichtig, das Risiko (Unsicherheit des Zinssatzes) dieser
  Einzahlungen zu minimieren.
  ⇒ Investor, der das Risiko aus den späteren Einzahlungen minimieren
  will, wird daher bei gleichem erwarteten EV beider Anlagealternativen
  die langfristige Anlage vorziehen oder eine Risikoprämie für die
  kurzfristige revolvierende Anlage verlangen.

- Bei Dominanz dieser Investoren → inverse ZSK!

Reale und nominale Zinssätze

Reale und nominale Zinssätze

- Es gibt verschiedene Indizes, die die realen Preise darstellen.

- Der bekannteste ist der Consumer Price Index (CPI), der angibt, wie
  teuer ein typischer Warenkorb einer Familie ist.

- Über die Differenz des CPI von einem zum nächsten Jahr kann folglich
  die Inflationsrate bestimmt werden.

- Inflation im Euro-Raum gemessen am harmonisierten
  Verbraucherpreisindex (1997 - 2023)

[image]

Reale und nominale Zinssätze

- Die Formel für die Umwandlung der nominalen Cash Flows einer
  zukünftigen Periode t in reale Cash Flows heute lautet
  $$\begin{aligned}
  \text{Realer Cash Flow (in $t$)}=\frac{\text{Nominaler Cash Flow (in $t$)}}{(1+\text{Inflationsrate})^t}
  \end{aligned}$$

- Die Formel zur Berechnung der realen Spot Rate r_(real) ist ähnlich:
  $$\begin{aligned}
  1+r_{\text{Real}}=\frac{1+r_{\text{Nominal}}}{1+\text{Inflationsrate}}
  \end{aligned}$$

- Wie beeinflusst die zukünftige erwartete Inflation den nominalen
  Zinssatz?

- Fisher’s Theorie: Eine Änderung der erwarteten Inflationsrate bewirkt
  die gleiche proportionale Änderung des nominalen Zinssatzes und hat
  keinen Effekt auf den realen Zinssatz.

Reale und nominale Zinssätze

- Die Abbildung zeigt den Zusammenhang zwischen Inflationsrate und
  Treasury Bill Rate.

- Offensichtlich forderten die Investoren meistens dann einen hohen
  Zinssatz, wenn auch die Inflationsrate hoch war.

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Analyse des Zinsänderungsrisikos

Analyse des Zinsänderungsrisikos

- Wie aus der Darstellung der Entwicklung der Zinsstruktur deutlich
  wird, unterliegt die Zinsstrukturkurve einer zeitlichen Änderung.
  Dabei bewirken Zinsänderungen

  - eine Änderung des Kurses (Barwert)

  - eine Änderung der Reinvestitionserträge aus den Rückflüssen
    (Endwert)

- Barwerte (Kurse) und Endwerte (resultierendes Endvermögen) unterliegen
  somit einem Zinsänderungsrisiko.

- Die Quantifizierung der Zinsstrukturkurve und ihrer zeitlichen
  Änderungen ist die Voraussetzung für eine Quantifizierung der
  Auswirkungen des Zinsänderungsrisikos.

- Wir konzentrieren uns dabei auf einen einfachen deterministischen
  Ansatz und treffen dazu folgende Annahmen:

- Die Zinsstruktur in s = 0 sei flach: r_(t)(0) = r.

- Kauf eines festverzinslichen Titels {Z₁, …, Z_(T)} zum Kurs (Barwert)
  P(r).

- Die Zinsänderung besteht in einem einmaligen Übergang in eine flache
  Zinsstruktur der Höhe r + Δr.

- Der übergang geschieht unmittelbar nach Kauf bzw. in t = 0. Man
  vergleicht also die Änderung des Barwerts bei einer Änderung des
  Diskontierungsfaktors.

- Um die Auswirkungen einer Zinsänderung r + Δr zu quantifizieren
  bestimmen wir (approximativ) die hieraus resultierende Barwertänderung
  ΔP = P(r + Δr) − P(r) sowie die entsprechende Endwertänderung
  ΔK_(T) = K_(T)(r + Δr) − K_(T)(r).

- Hierzu analysieren wir zunächst die Eigenschaften der Barwertfunktion
  bei Annahme einer flachen Zinsstruktur.

- Es gilt

$$P(r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{-t}$$
$$P'(r) = - \frac {1}{1+r} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r)^{-t}  < 0$$
$$P''(r) =  \frac {1}{(1+r)^2} \sum \limits_{t=1}^T t(t+1)Z_t(1+r)^{-t}  > 0$$

- Die Barwertfunktion ist somit eine streng monoton fallende und konvexe
  Funktion.

- Dies impliziert:

  - Bei steigendem Marktzins fällt der Barwert (Kurs).

  - Bei fallendem Marktzins steigt der Barwert (Kurs).

  - Eine Zinssenkung führt zu einer stärkeren Kursveränderung als eine
    gleich hohe Zinserhöhung.

[image]

- Analog analysieren wir die Endwertfunktion. Es gilt:

$$K_T(r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{T-t}$$
$$K_T'(r) = \frac {1}{1+r} \sum \limits_{t=1}^T (T-t)Z_t(1+r)^{-t}  > 0$$
$$K_T''(r) = \frac {1}{(1+r)^2} \sum \limits_{t=1}^T (T-t)(T-t-1)Z_t(1+r)^{-t}  > 0$$

- Die Endwertfunktion ist somit ebenfalls konvex, jedoch streng monoton
  steigend.

- Dies impliziert:

  - Bei steigendem Marktzins steigen die Reinvestitionserträge und damit
    der Endwert (relative Vermögenssteigerung)

  - Bei fallendem Marktzins fallen die Reinvestitionserträge und damit
    der Endwert (relative Vermögensminderung)

- Insgesamt wirken Zinsänderungseffekte somit entgegengesetzt auf Bar-
  und Endwert.

  - Effekt 1: Wenn Zinssätze steigen, sinken Anleihenpreise: Wenn die
    vorherrschenden Zinssätze steigen, werden Anleihen mit fixen
    Kuponzahlungen ceteris paribus weniger wertvoll, weil die
    Kuponzahlungen im Vergleich zum Markt nicht ansteigen (Barwert/Preis
    sinkt).

  - Effekt 2: Höhere Zinszahlungen ermöglichen bessere
    Wiederanlagemöglichkeiten für zwischenzeitliche Rückflüsse aus
    Kuponzahlungen (Endwert steigt).

Barwert- und Endwertänderung bei einer Zinsänderung

[image]

Quelle: Albrecht (2007), S. 88.

Beispiel: Anleihe mit EZü e_(t)

Annahme: flache Zinsstruktur mit k = 9%

$$\begin{array}{r|c|c|c|c}
t   & 0 & 1 & 2 &   3 \\ \hline
e_t &   & 9 & 9 & 109 
\end{array}$$

$$\begin{aligned}
\Rightarrow & PV & = 100 \\
& FV & = 100 \cdot 1,09^3 = 129,50  
\end{aligned}$$

[image]

Annahme: unmittelbare (d. h. in t = 0⁺) Zinsänderung auf k = 10%
$$\begin{aligned}
\Rightarrow & PV & = \frac{9}{1,1} + \frac{9}{1,1^2} + \frac{109}{1,1^3} = 97,51 \\
& & \text{nur Effekt 1 wirksam} \\
& FV & = 97,51 \cdot 1,1^3 = 129,79 \\
& & \text{nur Effekt 2 wirksam}
\end{aligned}$$

Für alle Kapitalwerte K_(t) mit t ∈ ]0, 3[ sind beide Effekte wirksam!

[image]

- Ob das Vermögen mit Zinsänderung $\stackrel{>}{<}$ dem Vermögen ohne
  Zinsänderung ist, hängt davon ab, welcher ZP untersucht wird!

- Es gibt einen ZP D, bei dem das Vermögen mit Zinsänderung gleich dem
  Vermögen ohne Zinsänderung ist, d. h. im ZP D besteht kein
  Zinsänderungsrisiko!

- Man sagt: Im ZP D ist das (End-)Vermögen gegenüber Zinsänderungen
  immunisiert.

- Man kann sogar zeigen, dass das Vermögen ohne Zinsänderungen im ZP D
  ein Minimum hat, d. h., dass jede Zinsänderung (pos. oder neg.) zu
  einem Vermögenszuwachs führt.

- Dazu schauen wir uns im folgenden das Konzept der Duration an.

Die Duration

- Im Rahmen einer Analyse des Zinsänderungsrisikos wenden wir uns nun
  einer Reihe von (eng verwandten) Kennziffern zur Zinssensitivität des
  Barwerts zu.

- Wir beginnen mit der absoluten Duration, definiert durch
  $$D_A(r) = -P'(r) = \frac {1}{1+r} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r)^{-t}$$

- Diese entspricht somit der ersten Ableitung der Barwertfunktion,
  jedoch mit negativem Vorzeichen. Da P^(′)(r) < 0, folgt D_(A)(r) > 0.

- Aus geometrischer Sicht wird unter Verwendung der ersten Ableitung der
  Barwertfunktion die Änderung der Barwertfunktion linear approximiert
  durch die entsprechende Änderung des Funktionswerts der Tangente an
  die Barwertkurve.

Absolute Duration als lin. Approximation der Barwertkurve

[image]

Quelle: Albrecht (2007), S. 89.

- Aus analytischer Sicht ist die absolute Duration ein approximatives
  Maß für die absolute Kursänderung bei absoluter Zinsänderung, denn es
  gilt entsprechend zur geometrischen Darstellung
  ΔP(r) ≈ −D_(A)(r) ⋅ Δr

- Je höher die Duration, desto größer das Zinsänderungsrisiko im Sinne
  einer Barwertänderung.

- Die Höhe der Duration hängt dabei wiederum von dem
  Ausgangsrenditenniveau r ab.

- Die lineare Approximation der Barwertkurve unterliegt einem
  Approximationsfehler, der umso größer ist,

  - je größer Δr

  - je gekrümmter die Barwertkurve r ist.

- Der Effekt steigender Zinsen (Kursverlust) wird somit überschätzt, der
  Effekt fallender Zinsen (Kursanstieg) hingegen unterschätzt.

- Aus der absoluten Duration lassen sich weitere Durationsmaße ableiten.

- Die modifizierte Duration (Modified Duration), definiert durch
  $$D_M(r) \coloneqq \frac {D_A(r)}{P(r)} = \frac {\frac {1}{1+r} \sum tZ_t(1+r)^{-t} }{P(r)}$$
  ist ein approximatives Maß für die relative Kursänderung bei absoluter
  Zinsänderung.

- Es gilt
  $$\frac {\Delta P(r)}{P(r)}  \approx -D_M(r) \cdot \Delta r$$

- Die Macaulay-Duration (oft nur als Duration bezeichnet) ist definiert
  durch
  $$\label{eq:Macaulay}
      D(r) = (1+r)D_M(r) = \frac {\sum tZ_t(1+r)^{-t} }{P(r)}$$

- Sie ergibt sich aus der zeitgewichteten Summe der diskontierten
  Zahlungen dividiert durch den Barwert der Anleihe und kann auch als
  das gewichtete Mittel der Fälligkeitszeitpunkte der einzelnen
  Zahlungen interpretiert werden.

- Die Duration gibt somit die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer an.

- Ihre Einheit entspricht dabei der gewählten Zeiteinheit (i.d.R.
  Jahre).

- Als ΔP(r) bzw. D(r) entsprechende Approximation erhält man
  $$\frac {\Delta P(r)}{P(r)}  \approx - \frac {(1+r+\Delta r)-(1+r)}{1+r}D(r) = - \frac{\Delta r}{1+r} D(r)$$

- Die Macaulay-Duration ist somit ein Maß für die relative Kursänderung
  bei relativer Änderung des Aufzinsungsfaktors.

Beispiel: Duration eines Standardbonds Wir betrachten einen Standardbond
mit einer Laufzeit von 4 Jahren, einem Nennwert von 1000 Euro sowie
einem Nominalzins von 6%. Zu bestimmen ist die Duration des Bonds, wenn
der anfängliche Zinssatz 4% beträgt. Der Zahlungsstrom des Bonds ist
zunächst gegeben durch { 60, 60, 60, 1060 }.

Es gilt im Einzelnen

$$\begin{aligned}
\frac{60}{1.04} &=   57.692\\
\frac{60}{1.04^{2}}&=   55.473 \quad & \mbox{und damit} \quad & 2 \cdot \frac{60}{1.04^{2}} = 110.946\\
\frac{60}{1.04^{3}}&=   53.340 \quad & \mbox{und damit} \quad & 3 \cdot \frac{60}{1.04^{3}} = 160.020\\
\frac{1060}{1.04^{4}}&=   906.092 \quad & \mbox{und damit} \quad & 4 \cdot \frac{1060}{1.04^{4}} = 3624.37
\end{aligned}$$

Als Macaulay-Duration ergibt sich nach diesen Vorüberlegungen
$$D = \frac {57.692+110.946+160.020+3624.37}{57.692+55.473+53.340+906.092}= \frac {3953.028}{1072.597} = 3.6855$$
Die Duration des Bonds beträgt somit 3.6855 Jahre.

Beispiel: Duration eines Zerobonds Betrachtet man einen Zerobond mit
Laufzeit T, so erhält man durch Auswertung der von Gleichung
[eq:Macaulay] das Resultat D(r) = T. Bei einem Zerobond stimmt somit die
Duration stets mit seiner Laufzeit überein.

- Die Duration eines Zerobonds mit Laufzeit T beinhaltet gleichzeitig
  die maximale Duration aller Bonds mit gleicher Laufzeit, denn es gilt
  $$\frac {\sum tZ_t(1+r)^{-t} }{P(r)}   \le \frac {T \sum Z_t(1+r)^{-t} }{P(r)}  = T$$

- Die Duration hängt nicht nur vom anfänglichen Zinsniveau, sondern auch
  von der Restlaufzeit und Kuponhöhe ab.

- Abschließend zum Thema Duration betrachten wir noch die
  Portfolioduration.

- Diese berechnet sich als die gewichtete Summe der Durationen der
  einzelnen Titel.

- Es seien X = {X₁, …, X_(T)} und Z = {Z₁, …, Z_(T)} zwei
  Zahlungsreihen.

- Dann gilt insbesondere
  $$D_{X+Z} = \frac {P_X}{P_X + P_Z} D_X + \frac {P_Z}{P_X + P_Z} D_Z$$

- Für die Portfolioduration gilt allgemein analog
  $$D_P = \sum \limits_{i=1}^n x_iD_i$$
  wobei x_(i) = P_(i)/P dem Barwert von Titel i bezogen auf den
  Gesamtwert des Portfolios entspricht.

- Der in der vorherigen Abbildung veranschaulichte Approximationsfehler
  bei der Quantifizierung der durch eine Zinsänderung induzierte
  Barwertänderung lässt sich durch Einbeziehung der Konvexität
  verringern.

- Theoretischer Ausgangspunkt ist dabei die Taylor-Entwicklung einer
  Funktion f im Punkt x₀. Durch den Abbruch der Taylorreihe erst nach
  dem zweiten Glied wird die lineare Approximation verbessert, konkret
  $$\Delta P = P'(r) \cdot \Delta r + \frac {1}{2} P''(r)\ (\Delta r)^2 = -D_A(r) \cdot \Delta r + \frac {1}{2} C_A(r)\ (\Delta r)^2$$

- Dabei ist die absolute Konvexität gegeben durch die zweite Ableitung
  der Barwertfunktion

$$C_A(r) = P''(r) = \frac {1}{(1+r)^2} \sum \limits_{t=1}^T t(t+1)Z_t(1+r)^{-t}$$

Konvexität

- Der Betrag $\frac{1}{2} C_A(r)(\Delta r)^2$ erfasst dabei die absolute
  Kursänderung aufgrund des quadratischen Anteils der Krümmung der
  Barwertkurve.

- Eine Division von ΔP durch P ergibt die Approximation
  $$\frac {\Delta P}{P} \approx -D_M \cdot \Delta r + \frac {1}{2} C(r)\ (\Delta r)^2$$

  wobei die Konvexität C(r) definiert ist durch

  $$C(r) = \frac {P''(r)}{P} = \frac {\sum \limits_{t=1}^T t(t+1)Z_t(1+r)^{-t}}{(1+r)^2 \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{-t}}$$

Zinsänderungsimmunisierung

- Zuvor wurden die gegenläufigen Wirkungen einer Zinsänderung bzgl.
  Barwert und Endwert eines Bonds veranschaulicht. Ist es in bestimmten
  Konstellationen möglich, die anfängliche (vor Eintritt der
  Zinsänderung) Wertentwicklung trotz einer eingetretenen Zinsänderung
  sicherzustellen?

- Dazu betrachten wir zunächst den Wert eines durch die Rückflüsse
  {Z₁, …, Z_(T)} charakterisierten, festverzinslichen Titels zu einem
  beliebigen Zeitpunkt 0 ≤ s ≤ T unter dem anfänglichen Zins r₀.

- Hierbei gilt
  $$K_s(r_0) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r_0)^{s-t}$$

- Bei sofortiger einmaliger Zinsänderung r + Δr in t = 0 ergibt sich für
  den Barwert zum Zeitpunkt s unter dieser Konstellation
  $$K_s(r_0 + \Delta r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r+\Delta r)^{s-t}$$

- Ist es zu einem Zeitpunkt s möglich, dass für Zinsänderungen eines
  bestimmten Ausmaßes Δr stets
  K_(s)(r₀ + Δr) ≥ K_(s)(r₀)
  gilt?

- In einem solchen Fall wäre gewährleistet, dass - zumindest in diesem
  Zeitpunkt und für Änderungen des anfänglichen Zinssatzes in einem
  bestimmten Umfang—der Wert des Bonds zum Zeitpunkt s trotz
  Zinsänderung nicht geringer ist als unter dem anfänglich geltenden
  Zins.

- Die Erfüllung der obigen Ungleichung läuft auf die Frage der Existenz
  eines lokalen oder sogar globalen Minimums hinaus.

- Die Antwort ist dabei positiv und sie lautet
  s = D(r₀)

- Wenn wir einen Zeitpunkt wählen, welcher der Duration zum anfänglichen
  Zins entspricht, so besitzt die Wertfunktion K_(s) = K_(D) ein Minimum
  im Punkt r₀ und die obige Ungleichung ist erfüllt.

- Im Folgenden wollen wir den Nachweis der Eigenschaft eines lokalen
  Minimums erbringen. Allgemein gilt
  $K_s(r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{s-t}$ sowie
  $K'_s(r) = (1+r)^{s-1}\sum \limits_{t=1}^T (s-t)Z_t(1+r)^{-t}$.

- Damit folgt

  0 = K^(′)_(s)(r₀) ̄
  $= s(1+r_0)^{s-1} \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r_0)^{-t}$
  $- (1+r_0)^{s-1} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r_0)^{-t}$
  $= s(1+r_0)^{s-1}P(r_0) - (1+r_0)^{s-1} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r_0)^{-t}$

- Insgesamt folgt
  $$\quad   s = \frac {\sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r_0)^{-t}}{P(r_0)} = D(r_0)$$
  d.h. die Eigenschaft eines lokalen Minimums ist nachgewiesen.

- Allgemeiner lässt sich zeigen, dass sogar ein globales Minimum
  vorliegt, d.h. die obige Ungleichung gilt sogar für zugelassene
  Zinsänderungen in beliebiger Höhe.

- Weiterhin bedeutet die Ungleichung, dass spätestens bis zum Zeitpunkt
  s = D(r₀) ein anfänglicher Kursverlust infolge steigender Zinsen durch
  die verbesserten Reinvestitionsmöglichkeiten zumindest kompensiert,
  ggf. sogar überkompensiert worden ist.

- Zu beachten ist, dass die Aussage nicht K_(s)(r₀ + Δr) = K_(s)(r₀)
  lautet, d.h. die Zinsänderungen werden nicht notwendigerweise alle im
  gleichen Zeitpunkt kompensiert, sondern jede Zinsänderung besitzt in
  der Regel einen eigenen Kompensationszeitpunkt.

- Sicher ist aber, dass im Zeitpunkt s die Wertentwicklung gleich der
  unteren Grenze K_(s)(r₀) ist oder darüber liegt.

- Fasst man den Wert K_(s)(r₀) als Untergrenze eines (nach oben
  unbegrenzten) Fensters auf, das sich um den Zeitpunkt der Duration
  befindet, so erhält man das sogenannte Durationsfenster (Duration
  Window).

Durationsfenster

[image]

Quelle: Albrecht (2007), S. 94.

- Die zentrale Annahme bei den vorherigen Analysen ist die einer flachen
  Zinsstruktur, die nur einer einzigen anfänglichen deterministischen
  Änderung einer bestimmten Form unterliegen darf.

- Mehrfache Änderungen sind kein Problem, da man nach jeder erfolgten
  Zinsänderungen entsprechende Anpassungen vornehmen kann.

- Bezüglich der Annahme einer flachen Zinsstruktur gibt es inzwischen
  eine Reihe von Erweiterungen wie die Single-Faktor-Durationsmodelle,
  Faktormodelle der Zinsstruktur sowie die Key-Rate-Duration.

- Ein weiteres Problem des Durationsansatzes ist, dass traditionelle
  Durationskonzepte Zinsänderungsrisiken nicht mehr erfassen können,
  wenn die Höhe der Zinszahlungen selbst von Zinsänderungen beeinflusst
  wird wie bei zinssensitiven Produkten oder Bonds mit eingebetteten
  Optionen. Hier können optionsadjustierte Durationsmaße angewandt
  werden.

- Insgesamt können wir festhalten, dass das einfache Durationsmaß ein
  sehr nützliches Konzept im Sinne einer ersten Approximation für die
  Analyse des Außmaßes des Zinsänderungsrisikos und einer darauf
  aufbauenden Portfoliosteuerung darstellt.

- Es unterliegt jedoch einer Reihe von Beschränkungen und liefert nur
  approximative Ergebnisse.

- Daher kommt es vor allem auf den spezifischen Anwendungszweck an, ob
  mit diesem Ansatz oder verfeinerten Analysen gearbeitet wird.

Zusammenfassung und Ausblick

- Heute haben wir uns mit der Theorie der Zinsstruktur beschäftigt.

- Wir haben über Zinsänderungen gesprochen und über die Möglichkeit,
  sich dagegen abzusichern (Duration).

Vielen Dank!